증명

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정육면체에서 서로 수직인 두 정사각형 \(\rm ABCD\), \(\rm CBEF\)를 작도하자. 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DA\), \(\rm EF\), \(\rm EB\), \(\rm FC\)를 이등분하는 각각의 점 \(\rm G\), \(\rm H\), \(\rm K\), \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\), O를 잡자. 선분 \(\rm GK\), \(\rm HL\), \(\rm MH\), \(\rm NO\)를 그리자. 선분 \(\rm NP\), \(\rm PO\), \(\rm HQ\)를 황금비로 자르고 각각의 황금비로 잘려진 점을 각각 점 \(\rm R\), \(\rm S\), \(\rm T라\) 하고 긴 선분을 \(\rm RP\), \(\rm PS\), \(\rm TQ\)라 하자. 점 \(\rm R\), \(\rm S\), \(\rm T\)에서 정육면체의 면들에 수직이 되도록 선분 \(\rm RU\), \(\rm SV\), \(\rm PS\), \(\rm TQ\)를 정육면체 밖으로 그리자.

\(\overline{\rm RU}=\overline{\rm RP}\), \(\overline{\rm SV}=\overline{\rm PS}\), \(\overline{\rm TW}=\overline{\rm TQ}\)가 되도록 선분 \(\rm RP\), \(\rm PS\), \(\rm RQ\)를 그리자. 선분 \(\rm UB\), \(\rm BW\), \(\rm WC\), \(\rm CV\), \(\rm VU\)를 그리자. [XIII권 명제 15, I권 명제 10, II권 명제 11, VI권 명제 30, XI권 명제 11, I권 명제 3]

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1) 오각형 \(\rm UBWCV\)의 모든 변들이 같고 한 평면에 놓이며 각들의 크기도 같음을 보이자.

선분 \(\rm RB\), \(\rm SB\), \(\rm VB\)를 그리자.

그러면 점 \(\rm R\)은 선분 NP를 황금비로 자르며, 선분 \(\rm RP\)는 \(\overline{\rm PR}>\overline{\rm RN}\)이므로 \(\overline{\rm PN}^2+\overline{\rm NR}^2=3\cdot\overline{\rm RP}^2\)이다. [XIII권 명제 4]

그런데 \(\overline{\rm PN}=\overline{\rm NB}\), \(\overline{\rm PR}=\overline{\rm RU}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BN}^2+\overline{\rm NR}^2=3\cdot\overline{\rm RU}^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm BR}^2=\overline{\rm BN}^2+\overline{\rm NR}^2\)이다. [I권 명제 47] 그러므로 \(\overline{\rm BR}^2=3\cdot\overline{\rm RU}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BR}^2+\overline{\rm RU}^2=3\cdot\overline{\rm RU}^2\)이다.

\(\overline{\rm BU}^2=\overline{\rm BR}^2+\overline{\rm RU}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BU}^2=4\cdot\overline{\rm RU}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BU}=2\cdot\overline{\rm RU}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm SR}=2\cdot\overline{\rm PR}=2\cdot\overline{\rm RU}\)이기 때문에 \(\overline{\rm VU}=2\cdot\overline{\rm RU}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BU}=\overline{\rm UV}\)이다.

같은 방법으로 선분 \(\overline{\rm BW}=\overline{\rm WC}=\overline{\rm CV}=\overline{\rm BU}=\overline{\rm UV}\)임을 보일 수 있다. 그러므로 오각형 \(\rm BUVCW\)의 모든 변의 길이가 같다.

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2) 오각형 \(\rm BUVCW\)가 한 평면에 놓임을 보이자.

점 \(\rm P\)에서 선분 \(\rm RU\), \(\rm SV\)에 평행하도록 선분 PX를 정육면체의 바깥으로 그리자. 선분 \(\rm XH\), \(\rm HW\)를 그리자.

선 \(\rm XHW\)는 선분임을 보이자. 즉, 일직선에 있음을 보이자.

점 \(\rm T\)는 선분 \(\rm HQ\)를 황금비로 자르고, \(\rm QT\)는 \(\overline{\rm QT}>\overline{\rm HT}\)이므로 \(\frac{\overline{\rm HQ}}{\overline{\rm QT}}=\frac{\overline{\rm QT}}{\overline{\rm TH}}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm HQ}=\overline{\rm HP}\), \(\overline{\rm QT}=\overline{\rm TW}=\overline{\rm PX}\)이다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm HP}}{\overline{\rm PX}}=\frac{\overline{\rm WT}}{\overline{\rm TH}}\)이다.

그리고 두 선분 \(\rm HP\), \(\rm TW\)는 평면 \(\rm BADC\)에 수직이기 때문에 두 선분 \(\rm HP\), \(\rm TW\)는 평행하다. [XI권 명제 6] 두 선분 \(\rm TH\), \(\rm PX\)는 평면 \(\rm BCFE\)에 수직이기 때문에 두 선분 \(\rm TH\), \(\rm PX\)는 평행하다. [XI권 명제 6]

그런데 두 삼각형 \(\rm XPH\), \(\rm HTW\)는 두 변들의 길이가 비례하므로 두 삼각형을 점 H에 일치시키고 대응하는 변들이 서로 평행하게 하면 나머지 변들은 한 직선에 놓이게 된다. [VI권 명제 32] 그러므로 두 선분 \(\rm XH\), \(\rm HW\)는 한 직선 위에 있다.

그런데 그 한 직선은 한 평면 위에 있다. [XI권 명제 1] 그러므로 오각형 \(\rm UBWCV\)는 한 평면 위에 있다.

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3) 오각형 \(\rm UBWCV\)의 모든 각이 같음을 보이자.

점 \(\rm R\)은 선분 \(\rm NP\)를 황금비로 자르고 선분 \(\rm PR\)이 \(\overline{\rm RP}>\overline{\rm NR}\)이며 \(\overline{\rm PR}=\overline{\rm PS}\)이므로 점 \(\rm P\)는 선분 \(\rm NS\)를 황금비로 자르며 \(\rm NP\)가 \(\overline{\rm NP}>\overline{\rm PS}\)이다. [XIII권 명제 5] 그러므로 NS^2+SP^2=3*NP^2이다. [XIII권 명제 4]

\(\overline{\rm NP}=\overline{\rm NB}\), \(\overline{\rm PS}=\overline{\rm SV}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm NS}^2+\overline{\rm SV}^2=3\cdot\overline{\rm NB}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm VS}^2+\overline{\rm SN}^2+\overline{\rm NB}^2=4\cdot\overline{\rm NB}^2\)이다.

\(\overline{\rm SB}^2=\overline{\rm SN}^2+\overline{\rm NB}^2\)이다. 그러므로 \(\rm\angle BSB=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm BS}^2+\overline{\rm SV}^2=\overline{\rm BV}^2=4\cdot\overline{\rm NB}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BV}=2\cdot\overline{\rm BN}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm BC}=2\cdot\overline{\rm BN}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BV}=\overline{\rm BC}\)이다.

두 변 \(\overline{\rm BU}=\overline{\rm BW}\), \(\overline{\rm UV}=\overline{\rm WC}\)이고 \(\overline{\rm BV}=\overline{\rm BC}\)이므로 \(\rm\angle BUV=\angle BWC\)이다. [I권 명제 8]

같은 방법으로 \(\rm\angle UVC=\angle BWC\)임을 보일 수 있다. 그러므로 \(\rm\angle BWC=\angle BUV=\angle UVC\)이다.

그런데 변들의 길이가 같은 오각형에서 세 각의 크기가 같으면 그 오각형의 모든 각의 크기가 같다. [XIII권 명제 7] 그러므로 오각형 \(\rm BUVCW\)의 모든 각이 같다.

그리고 오각형 \(\rm BUVCW\)은 모든 변들의 길이가 같음을 보였다. 그러므로 오각형 \(\rm BUVCW\)는 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 모두 같으므로 정오각형이며, 정육면체의 한 모서리인 \(\rm BC\)를 공유하고 있다.

그러므로 정육면체의 12개 모서리에 대하여 정오각형을 만들어 한 변을 일치시키면 12개의 정오각형으로 둘러싸인 입체가 생긴다. 이 입체도형이 정십이면체이다. [XI권 정의 28]

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4) 이 입체도형이 주어진 구에 내접하고, 정십이면체의 변의 길이는 무리수이며, 황금비로 자른 선분임을 보여야 한다.

반직선 \(\rm XP\)를 위의 점 \(\rm Z\)를 잡고 선분 \(\rm XZ\)를 그리자.

그러면 선분 PZ는 정육면체의 대각선과 만나고 대각선을 이등분한다. 이 사실은 앞의 명제에서 증명하였고, [XI권]에 포함되어 있다. [XI권 명제 38]

이들이 만나는 점을 \(\rm Z\)라 하자. 그러면 점 \(\rm Z\)를 중심으로 하고 구를 그려서 정육면체가 그 구에 내접한다. 그리고 \(\overline{\rm ZP}=\frac12\)(정육면체의 한 변의 길이)이다.

선분 \(\rm UZ\)를 그리자.

점 \(\rm P\)는 선분 \(\rm NS\)를 황금비로 자르며, \(\rm NP\)는 \(\overline{\rm NP}>\overline{\rm PS}\)이므로 \(\overline{\rm NS}^2+\overline{\rm SP}^2=3\cdot\overline{\rm NP}^2\)이다. [XIII권 명제 4]

그런데 \(\overline{\rm NP}=\overline{\rm PZ}\), \(\overline{\rm XP}=\overline{\rm PX}\)이기 때문에 \(\overline{\rm NS}=\overline{\rm XZ}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm PS}=\overline{\rm RP}\)이므로 \(\overline{\rm PS}=\overline{\rm XU}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm ZX}^2+\overline{\rm XU}^2=3\cdot\overline{\rm NP}^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm UZ}^2=\overline{\rm ZX}^2+\overline{\rm XU}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm UZ}^2=3\cdot\overline{\rm NP}^2\)이다.

그런데 구에 내접하면 구의 지름이 한 변이 정사각형 넓이는 정육면체의 한 변이 한 변인 정사각형 넓이의 3배가 되기 때문에, 육면체가 구에 내접하면 구의 반지름이 한 변이 정사각형의 넓이는 저육면체의 한 변의 절반으로 만든 정사각형의 넓이의 3배가 된다. [XIII권 명제 15]

전체와 전체의 비율은 절반과 절반의 비율과 같다. 그리고 \(\overline{\rm NP}=\frac12\)(정육면체의 한 변의 길이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm UZ}\)=(정육면체를 내접시키는 구의 반지름 길이)이다.

그리고 점 \(\rm Z\)는 정육면체을 내접시키는 구의 중심이다. 그러므로 점 U는 구의 표면 위에 있다.

비슷한 방법으로 정십이면체의 나머지 꼭짓점들도 구의 표면 위에 있음을 보일 수 있다. 그러므로 이 정십이면체는 주어진 구에 내접한다.

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5) 정십이면체의 한 변의 길이가 무리수이고 황금비로 나누어진 한 선분임을 보이자. 점 R은 선분 NP를 황금비로 잘랐고 선분 \(\rm RP\)는 \(\overline{\rm RP}>\overline{\rm NR}\)이다. 그리고 점 \(\rm S\)는 선분 \(\rm PO\)를 황금비로 잘랐고 선분 \(\rm PS\)는 \(\overline{\rm PS}>\overline{\rm SO}\)이다. 그러므로 \(\rm NO\)를 황금비로 자르면 (긴 선분 길이)\(=\overline{\rm RS}\)이다.

왜냐하면 \(\frac{\overline{\rm NP}}{\overline{\rm PR}}=\frac{\overline{\rm PR}}{\overline{\rm RN}}\)이므로 \(\frac{2\overline{\rm NP}}{2\overline{\rm PR}}=\frac{2\overline{\rm PR}}{2\overline{\rm RN}}\)이기 때문이다. 몫들 사이의 비율은 같은 수를 곱해서 만든 곱들 사이이 비율과 같기 때문이다. [V권 명제 15] 그러므로 \(\frac{\overline{\rm NO}}{\overline{\rm RS}}=\frac{\overline{\rm RS}}{\overline{\rm NR}+\overline{\rm SO}}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm NO}>\overline{\rm RS}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm RS}>\overline{\rm NR}+\overline{\rm SO}\)이다. 그러므로 선분 \(\rm NO\)를 점 \(\rm R\)에 의해서 황금비로 자르면 (긴 선분 길이)\(=\overline{\rm RS}\)이다.

\(\overline{\rm RS}=\overline{\rm UV}\)이다. 그러므로 선분 \(\rm NO\)를 황금비로 자르면 (긴 선분 길이)\(=\overline{\rm UV}\)이다.

그리고 구의 지름은 유리수이고 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)\(=3\cdot\)(구에 내접하는 정육면체 한 모서리 길이가 한 변인 정사각형 넓이)이므로 정육면체 한 모서리 \(\rm NO\)는 유리수이다.

그러므로 길이가 유리수인 선분을 황금비로 자르면 잘려진 두 선분은 모두 무리수이다. [XIII권 명제 6]

그러므로 정십이면체의 한 변 \(\rm UV\)는 길이는 황금비로 잘려진 무리수이다.

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그러므로 주어진 구에 정십이면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정십이면체의 변의 길이는 무리수이며 황금비로 잘려진 선분이다.

Q.E.D.