증명

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정육면체에서 서로 수직인 두 정사각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$, $\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$를 작도하자. 변 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}$, $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{E}\mathrm{B}$, $\mathrm{F}\mathrm{C}$를 이등분하는 각각의 점 $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$, O를 잡자. 선분 $\mathrm{G}\mathrm{K}$, $\mathrm{H}\mathrm{L}$, $\mathrm{M}\mathrm{H}$, $\mathrm{N}\mathrm{O}$를 그리자. 선분 $\mathrm{N}\mathrm{P}$, $\mathrm{P}\mathrm{O}$, $\mathrm{H}\mathrm{Q}$를 황금비로 자르고 각각의 황금비로 잘려진 점을 각각 점 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}\mathrm{라}$ 하고 긴 선분을 $\mathrm{R}\mathrm{P}$, $\mathrm{P}\mathrm{S}$, $\mathrm{T}\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}$에서 정육면체의 면들에 수직이 되도록 선분 $\mathrm{R}\mathrm{U}$, $\mathrm{S}\mathrm{V}$, $\mathrm{P}\mathrm{S}$, $\mathrm{T}\mathrm{Q}$를 정육면체 밖으로 그리자.

$\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}=\overline{\mathrm{R}\mathrm{P}}$, $\overline{\mathrm{S}\mathrm{V}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}$, $\overline{\mathrm{T}\mathrm{W}}=\overline{\mathrm{T}\mathrm{Q}}$가 되도록 선분 $\mathrm{R}\mathrm{P}$, $\mathrm{P}\mathrm{S}$, $\mathrm{R}\mathrm{Q}$를 그리자. 선분 $\mathrm{U}\mathrm{B}$, $\mathrm{B}\mathrm{W}$, $\mathrm{W}\mathrm{C}$, $\mathrm{C}\mathrm{V}$, $\mathrm{V}\mathrm{U}$를 그리자. [XIII권 명제 15, I권 명제 10, II권 명제 11, VI권 명제 30, XI권 명제 11, I권 명제 3]

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1) 오각형 $\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{V}$의 모든 변들이 같고 한 평면에 놓이며 각들의 크기도 같음을 보이자.

선분 $\mathrm{R}\mathrm{B}$, $\mathrm{S}\mathrm{B}$, $\mathrm{V}\mathrm{B}$를 그리자.

그러면 점 $\mathrm{R}$은 선분 NP를 황금비로 자르며, 선분 $\mathrm{R}\mathrm{P}$는 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}>\overline{\mathrm{R}\mathrm{N}}$이므로 ${\overline{\mathrm{P}\mathrm{N}}}^2+{\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{R}\mathrm{P}}}^2$이다. [XIII권 명제 4]

그런데 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{N}}=\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}=\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{N}}}^2+{\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}}^2$이다.

그런데 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{R}}}^2={\overline{\mathrm{B}\mathrm{N}}}^2+{\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}}^2$이다. [I권 명제 47] 그러므로 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{R}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}}^2$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{R}}}^2+{\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}}^2$이다.

${\overline{\mathrm{B}\mathrm{U}}}^2={\overline{\mathrm{B}\mathrm{R}}}^2+{\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}}^2$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{U}}}^2=4\cdot {\overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}}^2$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{U}}=2\cdot \overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}$이다.

그런데 $\overline{\mathrm{S}\mathrm{R}}=2\cdot \overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}=2\cdot \overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}$이기 때문에 $\overline{\mathrm{V}\mathrm{U}}=2\cdot \overline{\mathrm{R}\mathrm{U}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{U}}=\overline{\mathrm{U}\mathrm{V}}$이다.

같은 방법으로 선분 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{W}}=\overline{\mathrm{W}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{V}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{U}}=\overline{\mathrm{U}\mathrm{V}}$임을 보일 수 있다. 그러므로 오각형 $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$의 모든 변의 길이가 같다.

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2) 오각형 $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$가 한 평면에 놓임을 보이자.

점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{R}\mathrm{U}$, $\mathrm{S}\mathrm{V}$에 평행하도록 선분 PX를 정육면체의 바깥으로 그리자. 선분 $\mathrm{X}\mathrm{H}$, $\mathrm{H}\mathrm{W}$를 그리자.

선 $\mathrm{X}\mathrm{H}\mathrm{W}$는 선분임을 보이자. 즉, 일직선에 있음을 보이자.

점 $\mathrm{T}$는 선분 $\mathrm{H}\mathrm{Q}$를 황금비로 자르고, $\mathrm{Q}\mathrm{T}$는 $\overline{\mathrm{Q}\mathrm{T}}>\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}$이므로 $\frac{\overline{\mathrm{H}\mathrm{Q}}}{\overline{\mathrm{Q}\mathrm{T}}}=\frac{\overline{\mathrm{Q}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{T}\mathrm{H}}}$이다. 그런데 $\overline{\mathrm{H}\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{P}}$, $\overline{\mathrm{Q}\mathrm{T}}=\overline{\mathrm{T}\mathrm{W}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{X}}$이다. 그러므로 $\frac{\overline{\mathrm{H}\mathrm{P}}}{\overline{\mathrm{P}\mathrm{X}}}=\frac{\overline{\mathrm{W}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{T}\mathrm{H}}}$이다.

그리고 두 선분 $\mathrm{H}\mathrm{P}$, $\mathrm{T}\mathrm{W}$는 평면 $\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}$에 수직이기 때문에 두 선분 $\mathrm{H}\mathrm{P}$, $\mathrm{T}\mathrm{W}$는 평행하다. [XI권 명제 6] 두 선분 $\mathrm{T}\mathrm{H}$, $\mathrm{P}\mathrm{X}$는 평면 $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{E}$에 수직이기 때문에 두 선분 $\mathrm{T}\mathrm{H}$, $\mathrm{P}\mathrm{X}$는 평행하다. [XI권 명제 6]

그런데 두 삼각형 $\mathrm{X}\mathrm{P}\mathrm{H}$, $\mathrm{H}\mathrm{T}\mathrm{W}$는 두 변들의 길이가 비례하므로 두 삼각형을 점 H에 일치시키고 대응하는 변들이 서로 평행하게 하면 나머지 변들은 한 직선에 놓이게 된다. [VI권 명제 32] 그러므로 두 선분 $\mathrm{X}\mathrm{H}$, $\mathrm{H}\mathrm{W}$는 한 직선 위에 있다.

그런데 그 한 직선은 한 평면 위에 있다. [XI권 명제 1] 그러므로 오각형 $\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{V}$는 한 평면 위에 있다.

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3) 오각형 $\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{V}$의 모든 각이 같음을 보이자.

점 $\mathrm{R}$은 선분 $\mathrm{N}\mathrm{P}$를 황금비로 자르고 선분 $\mathrm{P}\mathrm{R}$이 $\overline{\mathrm{R}\mathrm{P}}>\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}$이며 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{N}\mathrm{S}$를 황금비로 자르며 $\mathrm{N}\mathrm{P}$가 $\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}>\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}$이다. [XIII권 명제 5] 그러므로 NS^2+SP^2=3*NP^2이다. [XIII권 명제 4]

$\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{S}\mathrm{V}}$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{N}\mathrm{S}}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{V}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}}^2$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{V}\mathrm{S}}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{N}}}^2+{\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}}^2=4\cdot {\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}}^2$이다.

${\overline{\mathrm{S}\mathrm{B}}}^2={\overline{\mathrm{S}\mathrm{N}}}^2+{\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}}^2$이다. 그러므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{B}={90}^{\circ }$이므로 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{S}}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{V}}}^2={\overline{\mathrm{B}\mathrm{V}}}^2=4\cdot {\overline{\mathrm{N}\mathrm{B}}}^2$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{V}}=2\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{N}}$이다.

그런데 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{N}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{V}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이다.

두 변 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{U}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{W}}$, $\overline{\mathrm{U}\mathrm{V}}=\overline{\mathrm{W}\mathrm{C}}$이고 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{V}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{W}\mathrm{C}$이다. [I권 명제 8]

같은 방법으로 $\mathrm{\angle }\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{W}\mathrm{C}$임을 보일 수 있다. 그러므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{W}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}=\mathrm{\angle }\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}$이다.

그런데 변들의 길이가 같은 오각형에서 세 각의 크기가 같으면 그 오각형의 모든 각의 크기가 같다. [XIII권 명제 7] 그러므로 오각형 $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$의 모든 각이 같다.

그리고 오각형 $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$은 모든 변들의 길이가 같음을 보였다. 그러므로 오각형 $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$는 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 모두 같으므로 정오각형이며, 정육면체의 한 모서리인 $\mathrm{B}\mathrm{C}$를 공유하고 있다.

그러므로 정육면체의 12개 모서리에 대하여 정오각형을 만들어 한 변을 일치시키면 12개의 정오각형으로 둘러싸인 입체가 생긴다. 이 입체도형이 정십이면체이다. [XI권 정의 28]

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4) 이 입체도형이 주어진 구에 내접하고, 정십이면체의 변의 길이는 무리수이며, 황금비로 자른 선분임을 보여야 한다.

반직선 $\mathrm{X}\mathrm{P}$를 위의 점 $\mathrm{Z}$를 잡고 선분 $\mathrm{X}\mathrm{Z}$를 그리자.

그러면 선분 PZ는 정육면체의 대각선과 만나고 대각선을 이등분한다. 이 사실은 앞의 명제에서 증명하였고, [XI권]에 포함되어 있다. [XI권 명제 38]

이들이 만나는 점을 $\mathrm{Z}$라 하자. 그러면 점 $\mathrm{Z}$를 중심으로 하고 구를 그려서 정육면체가 그 구에 내접한다. 그리고 $\overline{\mathrm{Z}\mathrm{P}}=\frac{1}{2}$(정육면체의 한 변의 길이)이다.

선분 $\mathrm{U}\mathrm{Z}$를 그리자.

점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{N}\mathrm{S}$를 황금비로 자르며, $\mathrm{N}\mathrm{P}$는 $\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}>\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}$이므로 ${\overline{\mathrm{N}\mathrm{S}}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{P}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}}^2$이다. [XIII권 명제 4]

그런데 $\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{Z}}$, $\overline{\mathrm{X}\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{X}}$이기 때문에 $\overline{\mathrm{N}\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{X}\mathrm{Z}}$이다.

그런데 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{R}\mathrm{P}}$이므로 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{X}\mathrm{U}}$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{Z}\mathrm{X}}}^2+{\overline{\mathrm{X}\mathrm{U}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}}^2$이다.

그런데 ${\overline{\mathrm{U}\mathrm{Z}}}^2={\overline{\mathrm{Z}\mathrm{X}}}^2+{\overline{\mathrm{X}\mathrm{U}}}^2$이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{U}\mathrm{Z}}}^2=3\cdot {\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}}^2$이다.

그런데 구에 내접하면 구의 지름이 한 변이 정사각형 넓이는 정육면체의 한 변이 한 변인 정사각형 넓이의 3배가 되기 때문에, 육면체가 구에 내접하면 구의 반지름이 한 변이 정사각형의 넓이는 저육면체의 한 변의 절반으로 만든 정사각형의 넓이의 3배가 된다. [XIII권 명제 15]

전체와 전체의 비율은 절반과 절반의 비율과 같다. 그리고 $\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}=\frac{1}{2}$(정육면체의 한 변의 길이)이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{U}\mathrm{Z}}$=(정육면체를 내접시키는 구의 반지름 길이)이다.

그리고 점 $\mathrm{Z}$는 정육면체을 내접시키는 구의 중심이다. 그러므로 점 U는 구의 표면 위에 있다.

비슷한 방법으로 정십이면체의 나머지 꼭짓점들도 구의 표면 위에 있음을 보일 수 있다. 그러므로 이 정십이면체는 주어진 구에 내접한다.

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5) 정십이면체의 한 변의 길이가 무리수이고 황금비로 나누어진 한 선분임을 보이자. 점 R은 선분 NP를 황금비로 잘랐고 선분 $\mathrm{R}\mathrm{P}$는 $\overline{\mathrm{R}\mathrm{P}}>\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}$이다. 그리고 점 $\mathrm{S}$는 선분 $\mathrm{P}\mathrm{O}$를 황금비로 잘랐고 선분 $\mathrm{P}\mathrm{S}$는 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{S}}>\overline{\mathrm{S}\mathrm{O}}$이다. 그러므로 $\mathrm{N}\mathrm{O}$를 황금비로 자르면 (긴 선분 길이)$=\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}$이다.

왜냐하면 $\frac{\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}}{\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}}=\frac{\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}}{\overline{\mathrm{R}\mathrm{N}}}$이므로 $\frac{2\overline{\mathrm{N}\mathrm{P}}}{2\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}}=\frac{2\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}}{2\overline{\mathrm{R}\mathrm{N}}}$이기 때문이다. 몫들 사이의 비율은 같은 수를 곱해서 만든 곱들 사이이 비율과 같기 때문이다. [V권 명제 15] 그러므로 $\frac{\overline{\mathrm{N}\mathrm{O}}}{\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}}=\frac{\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}}{\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}+\overline{\mathrm{S}\mathrm{O}}}$이다. 그런데 $\overline{\mathrm{N}\mathrm{O}}>\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}>\overline{\mathrm{N}\mathrm{R}}+\overline{\mathrm{S}\mathrm{O}}$이다. 그러므로 선분 $\mathrm{N}\mathrm{O}$를 점 $\mathrm{R}$에 의해서 황금비로 자르면 (긴 선분 길이)$=\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}$이다.

$\overline{\mathrm{R}\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{U}\mathrm{V}}$이다. 그러므로 선분 $\mathrm{N}\mathrm{O}$를 황금비로 자르면 (긴 선분 길이)$=\overline{\mathrm{U}\mathrm{V}}$이다.

그리고 구의 지름은 유리수이고 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)$=3\cdot$(구에 내접하는 정육면체 한 모서리 길이가 한 변인 정사각형 넓이)이므로 정육면체 한 모서리 $\mathrm{N}\mathrm{O}$는 유리수이다.

그러므로 길이가 유리수인 선분을 황금비로 자르면 잘려진 두 선분은 모두 무리수이다. [XIII권 명제 6]

그러므로 정십이면체의 한 변 $\mathrm{U}\mathrm{V}$는 길이는 황금비로 잘려진 무리수이다.

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그러므로 주어진 구에 정십이면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정십이면체의 변의 길이는 무리수이며 황금비로 잘려진 선분이다.

Q.E.D.