증명

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1)정이십면체 만들기

주어진 구의 지름을 \(\rm AB\)라 하자. \(\overline{\rm AC}=4\cdot\overline{\rm CB}\)인 선분 \(\rm AB\) 내부에 있는 점 \(\rm C\)를 잡자. 선분 \(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm ADB\)를 작도하자. 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 선분 \(\rm DB\)를 그리자. [VI권 명제 9, I권 명제 11]

반지름이 \(\rm DB\)인 원 \(\rm EFGHK\)를 작도하자. 원 \(\rm EFGHK\)에 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 정오각형 \(\rm EFGHK\)를 내접시키자. 호 \(\rm EF\), \(\rm FG\), \(\rm GH\), \(\rm HK\), \(\rm KE\)를 이등분하는 점 \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\), \(\rm O\), \(\rm P\)를 잡자. 선분 \(\rm LM\), \(\rm MN\), \(\rm NO\), \(\rm OP\), \(\rm PL\), \(\rm EP\)를 그리자. [IV권 명제 11, I권 명제 9]

그러면 오각형 \(\rm LMNOP\)도 정오각형이며 선분 EP는 내접하는 정십각형의 한 변이다. 점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\), \(\rm K\)에서 원을 포함하는 평면에 수직이며 \(\overline{\rm EQ}=\overline{\rm FR}=\overline{\rm GS}=\overline{\rm HT}=\overline{\rm KU}=\)(반지름)이 되도록 선분 \(\rm EQ\), \(\rm FR\), \(\rm GS\), \(\rm HT\), \(\rm KU\)를 그리자. 선분 \(\rm QR\), \(\rm RS\), \(\rm ST\), \(\rm TU\), \(\rm UQ\), \(\rm QL\), \(\rm LR\), \(\rm RM\), \(\rm MS\), \(\rm SN\), \(\rm NT\), \(\rm TO\), \(\rm OU\), \(\rm UP\), \(\rm PQ\)를 그리자. [XI권 명제 12, I권 명제 3]

두 선분 \(\rm EQ\), \(\rm KU\)는 같은 평면에 대해 수직이므로, \(\rm EQ\)와 \(\rm KU\)는 평행하다. [XI권 명제 33]

또한 \(\overline{\rm EQ}=\overline{\rm KU}\)이다. 길이가 같고 평행한 두 선분의 양 끝 점을 같은 방향으로 연결한 두 선분도 길이가 같고 평행하다. [I권 명제 33] 그러므로 \(\overline{\rm QU}=\overline{\rm EK}\)이며 두 선분 \(\rm QU\), \(\rm EK\)는 평행하다.

그런데 \(\rm EK\)는 정오각형의 한 변이다. 그러므로 \(\overline{\rm QU}=\)(원 \(\rm EFGHK\)에 내접하는 정오각형의 한 변과 길이)이다.

같은 이유로 선분 \(\rm QR\), \(\rm RS\), \(\rm ST\), \(\rm TU\)도 모두 \(\overline{\rm QR}=\overline{\rm RS}=\overline{\rm ST}=\overline{\rm TU}=\)(원 \(\rm EFGHK\)에 내접하는 정오각형의 한 변과 길이)이다. 그러므로 오각형 \(\rm QRSTU\)의 모든 변의 길이가 같다.

\(\overline{\rm QE}=\)(원 \(\rm EFGHK\)에 내접하는 정육각형의 한 변과 길이)이고, \(\overline{\rm EP}=\)(정십각형의 한 변의 길이), \(\rm\angle QEP=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm QP}=\)(정오각형의 한 변의 길이)이다. 왜냐하면 같은 원에 내접하는 정오각형의 한 변이 한 변인 정사각형의 넓이는 정육각형의 한 변이 한 변인 정사각형의 넓이와 정십각형의 한 변이 한 벼인 정사각형의 넓이를 더한 것과 같기 때문이다. [XIII권 명제 10]

같은 이유로 \(\overline{\rm PU}=\)(정오각형의 한 변의 길이)이다. 그런데 선분 \(\rm QU\)는 정오각형의 한 변이다. 그러므로 삼각형 \(\rm QPU\)의 모든 변들의 길이가 같은 정삼각형이다. 같은 이유로 삼각형 \(\rm QLR\), \(\rm RMS\), \(\rm SNT\), \(\rm TOU\)도 각각 모든 변들의 길이가 같다.

그리고 \(\overline{\rm QL}=\overline{\rm QP}=\)(정오각형의 한 변의 길이)을 증명하였고, 선분 \(\rm LP\)도 정오각형의 한 변이므로 삼각형 \(\rm QLP\)의 모든 변의 길이가 같은 정삼각형이다.

같은 이유로 삼각형 \(\rm LRM\), \(\rm MSN\), \(\rm NTO\), \(\rm OUP\)도 각각 모든 변이 같은 정삼각형이다.

원 \(\rm EFGHK\)의 중심 \(\rm V\)를 잡자. 점 \(\rm V\)에서 원 \(\rm EFGHK\)를 포함하는 평면에 수직인 선분 \(\rm VZ\)를 그리자. 그리고 선분 \(\rm VZ\)와 일직선 상에 있으며 반대편인 선분 \(\rm VX\)를 그리자.

선분 \(\rm VZ\)에서 \(\overline{\rm VW}=\)(정육각형의 한 변의 길이)가 되도록 점 W를 선분 \(\rm VZ\)에서 잡아 선분 \(\rm VW\)를 그리자. \(\overline{\rm VX}=\overline{\rm WZ}=\)(정십각형의 한 변의 길이)가 되도록 \(\rm VX\), \(\rm WZ\)를 그리자.

그리고 선분 \(\rm QZ\), \(\rm QW\), \(\rm UZ\), \(\rm EV\), \(\rm LV\), \(\rm LX\), \(\rm XM\)을 그리자. [III권 명제 1, XI권 명제 12]

두 선분 \(\rm VW\), \(\rm QES\)는 원을 포함하는 평면에 수직이므로 두 선분 \(\rm VW\)와 \(\rm QE\)는 평행하다. [XI권 명제 6] 그러므로 \(\overline{\rm EV}=\overline{\rm QW}\)이며 두 선분 \(\rm EV\), \(\rm QW\)는 평행하다. [I권 명제 33]

그런데 \(\overline{\rm EV}=\)(정육각형의 한 변의 길이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm QW}=\)(정육각형의 한 변의 길이)이다. 그리고 \(\overline{\rm QW}=\)(정육각형의 한 변의 길이), \(\overline{\rm WZ}=\)(정십각형의 한 변의 길이), \(\rm\angle QWZ=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm QZ}=\)(정오각형의 한 변의 길이)이다. [XIII권 명제 10]

같은 이유로 \(\overline{\rm UZ}=\)(정오각형의 한 변의 길이)이다. 왜냐하면 두 선분 \(\rm VK\), \(\rm WU\)를 그리면 이 두 선분은 평행하고 \(\overline{\rm VK}=\overline{\rm WU}\)이며 \(\overline{\rm VK}=\)(반지름)=(정육각형 한 변의 길이)이다. [VI권 명제 15, 따름 명제] 그러므로 \(\overline{\rm WU}=\)(정육각형 한 변의 길이)이며 \(\rm\angle UWZ=90^\circ\)이므로 UZ=(정오각형 한 변의 길이)이다. [XIII권 명제 10]

그런데 \(\overline{\rm QU}=\)(정오각형 한 변의 길이)이다. 그러므로 삼각형 \(\rm QUZ\)의 모든 변들의 길이가 같다. 같은 이유로 선분 \(\rm QR\), \(\rm RS\), \(\rm ST\), \(\rm TU\)가 밑변이고 점 \(\rm Z\)가 꼭짓점인 모든 삼각형들은 모든 변들의 길이가 모두 같다.

다시, \(\overline{\rm VL}=\)(정육각형 한 변의 길이)이고, \(\overline{\rm VX}=\)(정십각형 한 변의 길이), \(\rm\angle LVX=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm LX}=\)(정오각형 한 변의 길이)이다. [XIII권 명제 10]

같은 이유로 선분 \(\rm MV\)를 그리면, \(\overline{\rm MV}=\)(정육각형 한 변의 길이)이므로, \(\overline{\rm MX}=\)(정오각형 한 변의 길이) 임을 알 수 있다.

그런데 \(\overline{\rm LM}=\)(정오각형 한 변의 길이)이다. 그러므로 삼각형 \(\rm LMX\)의 모든 변들의 길이가 같다.

같은 방법으로 선분 \(\rm MN\), \(\rm NO\), \(\rm OP\), \(\rm PL\)이 밑변이고 점 \(\rm X\)가 꼭짓점인 모든 삼각형들의 모든 변들의 길이가 같다.

그러므로 20개의 정삼각형들로 둘러싸인 정이십면체를 만들었다.

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2) 만들어진 정이십면체를 구에 내접하기

이제 정이십면체가 주어진 구에 내접하고 한 변의 길이가 무리수임을 보이자.

\(\overline{\rm VW}=\)(정육각형 한 변의 길이), \(\overline{\rm WZ}=\)(정십각형 한 변의 길이)이므로 점 \(\rm W\)는 선분 \(\rm VZ\)를 황금비로 자른다. [XIII권 명제 9] 그러므로 \(\overline{\rm VW}>\overline{\rm WZ}\)이므로 \(\frac{\overline{\rm ZV}}{\overline{\rm VW}}=\frac{\overline{\rm VW}}{\overline{\rm WZ}}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm VW}=\overline{\rm VE}\)이고 \(\overline{\rm WZ}=\overline{\rm VX}\)이므로 \(\overline{\rm ZV}>\overline{\rm VE}\)이므로 \(\frac{\overline{\rm ZV}}{\overline{\rm VW}}=\frac{\overline{\rm EV}}{\overline{\rm VX}}\)이다.

그리고 \(\rm\angle ZVE=\angle EVX=90^\circ\)이므로 선분 \(\rm EZ\)를 그리면 두 삼각형 \(\rm XEZ\), \(\rm EVZ\)는 닮음이므로 \(\rm\angle XEZ=90^\circ\)이다.

같은 이유로 \(\frac{\overline{\rm ZV}}{\overline{\rm VW}}=\frac{\overline{\rm VW}}{\overline{\rm WZ}}\)이고, \(\overline{\rm ZV}=\overline{\rm XW}\), \(\overline{\rm VW}=\overline{\rm WQ}\)이므로 \(\frac{\overline{\rm XW}}{\overline{\rm WQ}}=\frac{\overline{\rm QW}}{\overline{\rm WZ}}\)이다.

같은 이유로 선분 \(\rm QX\)를 그리면, \(\rm\angle Q=90^\circ\)이므로 [VI권 명제 8], 선분 \(\rm XZ\) 위에 반을 작도하면 점 \(\rm Q\)를 지난다. [III권 명제 31]

그러므로 선분 \(\rm XZ\)를 회전축으로 하여 반원을 한 바퀴 돌리면 반원은 점 \(\rm Q\)와 정이십면체의 모든 꼭짓점을 지난다. 그러므로 정이십면체는 구에 내접한다.

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3) 정이십면체가 주어진 구에 내접함

이제 이 정이십면체가 주어진 구에 내접함을 보이자.

선분 \(\rm VW\)의 중점 \(\rm A’\)을 잡자. [I권 명제 9]

점 \(\rm W\)는 선분 \(\rm VZ\)를 황금비로 자르고, \(\overline{\rm ZW}<\overline{\rm VW}\)이므로 \(\left(\overline{\rm ZW}+\frac12\overline{\rm VW}\right)^2 = \left(\overline{\rm ZW}+\overline{\rm WA’}\right)^2 = 5\cdot\left(\frac12\cdot\overline{\rm VW}\right)^2\)이다. [XIII권 명제 3] 그러므로 \(\overline{\rm ZA’}^2=5\cdot\overline{\rm A’W}^2\)이다.

\(\overline{\rm ZX}=2\cdot\overline{\rm ZA’}\)이고 \(\overline{\rm VW}=2\cdot\overline{\rm A’W}\)이므로 \(\overline{\rm ZX}^2=5\cdot\overline{\rm VW}^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AC}=4\cdot\overline{\rm CB}\)이므로 \(\overline{\rm AB}=5\cdot\overline{\rm BC}\)이다.

\(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BC}}=\frac{\overline{\rm AB}^2}{\overline{\rm BD}^2}\)이다. [VI권 명제 8, V권 정의 9] 그러므로 \(\overline{\rm AB}^2=5\cdot\overline{\rm BD}^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm ZX}^2=5\cdot\overline{\rm VW}^2\)임을 보였다. 그리고 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm VW}\)이다. 왜냐하면 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm VW}=\)(원 \(\rm EFGHK\)의 반지름)이기 때문이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm XZ}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm AB}=\)(주어진 원의 지름)이다. 그러므로 \(\overline{\rm XZ}=\)(주어진 원의 지름)이다.

그러므로 이 정이십면체는 주어진 구에 내접한다.

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4)이제 정이십면체 한 변의 길이가 무리수임을 보이자.

구의 지름은 유리수이고 그것으로 만든 정사각형의 넓이는 원 \(\rm EFGHK\) 반지름으로 만든 정사각형 넓이의 5배이므로 원 \(\rm EFGHK\)의 반지름도 유리수이다.

반지름의 길이가 유리수인 원에 정오각형을 내접시키면 정오각형 한 변의 길이는 무리수이다. [XIII권 명제 11]

그런데 정오각형 \(\rm EFGHK\) 한 변이 바로 정이십면체의 한 변이다.

그러므로 정이십면체 한 변의 길이는 무리수이다.

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그러므로 주어진 구에 정이십면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정이십면체의 한 변의 길이는 무리수이다.

Q.E.D.