증명

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주어진 구의 지름을 선분 \(\rm AB\)이라고 하자. \(\overline{\rm AC}=2\cdot\overline{\rm CB}\)인 선분 \(\rm AB\) 내부점 \(\rm C\)를 잡자. [VI권 명제 9, I권 명제 11]

선분 \(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm ADB\)를 작도하자. 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 선분 \(\rm CD\)를 그리자. 선분 \(\rm CD\)를 그리자. [I권 명제 46]

모든 변의 길이가 \(\overline{\rm DB}\)인 정사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. 점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)에서 정사각형 \(\rm EFGH\)를 포함하는 평면에 수직인 선분 \(\rm EK\), \(\rm FL\), \(\rm GM\), \(\rm HN\)을 그리자. [XI권 명제 12, I권 명제 3] 그리고 선분 \(\overline{\rm EK}=\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FL}=\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GM}=\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm HN}=\overline{\rm HE}\)가 되도록 선분 \(\overline{\rm EK}\), \(\overline{\rm FL}\), \(\overline{\rm GM}\), \(\overline{\rm HN}\)을 그리자. 선분 \(\rm KL\), \(\rm LM\), \(\rm NM\), \(\rm NK\)를 그리자.

그러면 여섯 개의 정사각형으로 둘러싸인 정육면체 \(\rm EFGHKLMN\)를 만들어진다. [XI권 정의 25]

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1) 이제 정육면체 \(\rm EFGHKLMN\)가 주어진 구에 내접하며, (구의 지름으로 만든 정사각형 넓이)=3*(구에 내접한 정육면체 한 모서리가 한 변인 정사각형 넓이)임을 보이자.

선분 \(\rm KG\), \(\rm EG\)를 그리자.

그러면 선분 \(\rm EK\)는 \(\rm EFGH\)를 포함하는 평면에 수직이므로 선분 EG와도 수직이기 때문에 \(\rm\angle KEG=90^\circ\)이다. [XI권 정의 3] 그러므로 선분 \(\rm KG\) 위에 반원을 작도하면 그 반 원은 점 \(\rm E\)를 지난다.

그리고 선분 \(\rm GF\)는 두 선분 \(\rm FL\), \(\rm FE\)와 수직이므로 선분 \(\rm FG\)는 평면 \(\rm EKLF\)에 수직이다. 그러므로 선분 \(\rm FK\)를 그리면 선분 \(\rm FK\)와 선분 \(\rm GF\)는 수직으로 만난다. 그러므로 선분 \(\rm GK\) 위에 반원을 작도하면 그 반 원은 점 \(\rm F\)를 지난다.

같은 방법으로 반원이 정육면체의 다른 모든 꼭짓점을 지나도록 작도할 수 있다.

그러므로 선분 KG를 고정시킨 다음 반원을 한 바퀴 회전시키면 정육면체는 이 때 만들어진 구에 내접한다.

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2) 이 정육면체가 주어진 구에 내접한다는 것을 보이자.

\(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FE}\), \(\rm\angle F=90^\circ\)이므로 \({\overline{\rm EG}}^2=2\cdot{\overline{\rm EK}}^2\)이다. 그런데, \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EK}\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm EG}}^2=2\cdot{\overline{\rm EK}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm GE}}^2 + {\overline{\rm EK}}^2={\overline{\rm GK}}^2=3\cdot{\overline{\rm EK}}^2\)이다. [I권 명제 47]

\(\overline{\rm AB}=3\cdot\overline{\rm BC}\)이고, \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BC}}=\frac{{\overline{\rm AB}}^2}{{\overline{\rm DB}}^2}\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2=3\cdot{\overline{\rm BD}}^2\)이다.

그런데 \({\overline{\rm GK}}^2=3\cdot{\overline{\rm KE}}^2\)임을 보였다. 그리고 \(\overline{\rm KE}=\overline{\rm DB}\)가 되도록 선분 \(\rm KE\)를 그렸다. 그리고 \(\overline{\rm KG}=\overline{\rm AB}\)이다. 그런데 선분 \(\rm AB\)는 주어진 구의 지름이다. 그러므로 선분 \(\rm KG\)는 주어진 구의 지름과 같다. 즉, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm KG}\)이다.

그러므로 이 정육면체는 주어진 구에 내접하며, 구의 지름이 한 변이 정사각형 넓이는 구에 내접한 정육면체 한 모서리를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 세 배임을 보였다.

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그러므로 주어진 구에 정육면체를 내접시킬 수 있다. 또한 구의 지름으로 만든 정사각형 넓이는 구에 내접한 정육면체 한 모서리가 한 변인 정사각형 넓이의 세 배이다.

Q.E.D.