증명

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(1) 정팔면체 만들기

주어진 구의 지름을 \(\rm AB\)라 하고, 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\)라 하자. 선분 \(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm ADB\)를 그리고 선분 \(\rm CD\)를 점 \(\rm C\)에 선분 \(\rm AB\)에 수직이도록 그리자. 그리고 선분 \(\rm DB\)를 그리자. [I권 명제 1]

그리고 모든 변이 선분 \(\rm DB\)와 같은 정사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. [I권 명제 46] 그리고 두 선분 \(\rm HF\)와 \(\rm EG\)를 그리자. 점 \(\rm K\)를 지니고 정사각형 \(\rm EFGH\)의 평면에서 수직인 직선 \(\rm KL\)을 그리자. [XI권 명제 12] 그리고 평면의 다른 한 쪽을 통과하는 직선 \(\rm KM\)을 그리자

그리고 두 선분 \(\rm KL\)과 \(\rm KM\)가 \(\overline{\rm KL}=\overline{\rm KM}=\overline{\rm EK}=\overline{\rm FK}=\overline{\rm GK}=\overline{\rm HK}\)가 되도록 그리자. 그리고 선분 \(\rm LE\), \(\rm LF\), \(\rm LG\), \(\rm LH\), \(\rm ME\), \(\rm MF\), \(\rm MG\), \(\rm MH\)을 그리자. [I권 명제 3]

\(\overline{\rm KE}=\overline{\rm KH}\)이고 \(\rm\angle EKH=90^circ\)이므로 \({\overline{\rm HE}}^2=2 \cdot {\overline{\rm EK}}^2\)이다. [1권 정리 47]

그리고 \(\overline{\rm LK}=\overline{\rm KE}\)이고 \(\rm\angle LKE=90^circ\)이므로 \({\overline{\rm EL}}^2=2\cdot{\overline{\rm EK}}^2\)이다. [1권 정리 47]

그러나 \({\overline{\rm HE}}^2=2\cdot{\overline{\rm EK}}^2\)을 보였다. 그러므로 \({\overline{\rm EL}}^2={\overline{\rm HE}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm LE}=\overline{\rm EH}\)이다. 같은 이유로 \(\overline{\rm LH}=\overline{\rm HE}\)가 또한 성립한다.

따라서 삼각형 \(\rm LEH\)는 \(\overline{\rm LE}=\overline{\rm EH}=\overline{\rm LH}\)로 모든 변의 길이가 같은 정삼각형이다.

같은 방법으로 정사각형 \(\rm EFGH\)의 변들을 밑변으로 하고 점 \(\rm L\), \(\rm M\)을 꼭짓점으로 하는 모든 삼각형들이 변들의 길이가 같은 정삼각형임을 보일 수 있다. 그러므로 개의 똑같은 정삼각형들을 면으로 가지는 정팔면체를 만들었다. [XI권 정의 26]

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(2) 구성한 정팔면체가 주어진 구에 내접함을 증명

그래서 주어진 구에 정팔면체가 내접하고 구의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 정팔면체의 한 변으로 만든 정사각형 넓이의 두 배가 됨을 보여야 한다.

\(\overline{\rm LK}= \overline{\rm KM}=\overline{\rm KE}\)이기 때문에 선분 \(\rm LM\) 위에 작도한 반원은 점 \(\rm E\)를 지난다. 그리고 같은 이유로 선분 \(\rm LM\)을 고정하여 중심축으로 반원을 회전시키면 이 반원은 점 \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)를 지나게 된다. 그러므로 정팔면체는 구에 내접시킬 수 있다.

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이 구가 주어진 구와 크기가 같음을 보여야 한다.

(3) 주어진 구의 지름으로 만든 정사각형의 넓이가 내접하는 정사팔면체의 한 변으로 만든 정사각형 넓이의 2배가 됨을 증명

\(\overline{\rm LK}=\overline{\rm KM}\)이고 KE가 공통이고 \(\rm \angle EKL=\angle EKM=90^\circ\)이기 때문에 삼각형 \(\rm EKL\), \(\rm EKM\)은 합동이다. 따라서 두 밑변 \(\rm LE\), \(\rm EM\)은 \(\overline{\rm LE}=\overline{\rm EM}\)이다. [1권 정리 4]

그리고 반원의 성질에 의해 \(\rm\angle LEM=90^\circ\)이기 때문에 [III권 명제 31] \({\overline{\rm LM}}^2=2\cdot {\overline{\rm LE}}^2\)이다. [I권 명제 47]

다시 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\)이기 때문에 \(\overline{\rm AB}=2\cdot\overline{\rm BC}\)이다. 그리고 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BC}}=\frac{{\overline{\rm AB}}^2}{{\overline{\rm BD}}^2}\)이다. [VI권 명제 8, V권 명제 9] 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2=2\cdot {\overline{\rm BD}}^2\)이다.

그런데 \({\overline{\rm LM}}^2=2\cdot {\overline{\rm LE}}^2\)임도 보였다. 그리고 \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm DB}\)이기 때문에 \({\overline{\rm DB}}^2={\overline{\rm LE}}^2\)이다. 그러므로 AB^2=LM^2이다.

그러므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm LM}\)이다.

그리고 \(\rm AB\)가 주어진 구의 지름이다. 그러므로 \(\rm LM\)이 주어진 구의 지름과 같다.

따라서 \({\overline{\rm AB}}^2=2\cdot{\overline{\rm LE}}^2\)이다.

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그러므로 정팔면체는 주어진 구에 내접하고 구의 지름으로 만든 정사각형 넓이는 정팔면체의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이와 같다.

Q.E.D.