증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)에 내접한 정삼각형 \(\rm ABC\)가 내접하고 있다.

그러면 정삼각형의 한 변 \(\rm AB\)로 만든 정사각형 넓이는 원 \(\rm ABC\)의 반지름으로 만든 정사각형의 넓이의 \(3\)배임을 보이자.

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원 \(\rm ABC\)의 중심 \(\rm D\)를 잡고, 선분 \(\rm AD\)를 그려라. 그러면 원의 반지름은 \(\rm AD\)이다. 반직선 \(\rm AD\)와 원 \(\rm ABC\)의 교점을 \(\rm E\)라 하고 선분 \(\rm BE\)를 그리자. [III권 명제 1]

삼각형 \(\rm ABC\)의 모든 변의 길이가 같으므로 \(\overset{\frown}{\rm BEC}=\)(원 \(\rm ABC\) 둘레 길이)\(\times \frac13\)이다. 그러므로 \(\overset{\frown}{\rm BE}=\)(원 \(\rm ABC\) 둘레 길이)\(\times\frac16\)이다. 그러므로 선분 \(\rm BE\)는 원 \(\rm ABC\)에 내접하는 정육면체의 한 변이 된다. 그러므로 원의 반지름은 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DE}\)이다. \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm DE}\)이다. [IV권 명제 15, 따름 명제]

\(\overline{\rm AE}=2\overline{\rm DE}\)이므로 \({\overline{\rm AE}}^2=4{\overline{\rm DE}}^2\)이다. 즉, \({\overline{\rm BE}}^2=4{\overline{\rm BE}}^2\)이다.

그런데 \({\overline{\rm AE}}^2={\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BE}}^2\)이다. [III권 명제 31, I권 명제 47] 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BE}}^2 = 4 {\overline{\rm BE}}^2\)이다.

그러므로 위 식을 정리하면 \({\overline{\rm AB}}^2 =3 {\overline{\rm BE}}^2\)이다. 그런데 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm DE}\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2=3{\overline{\rm DE}}^2\)이다.

그러므로 반지름이 \(\overline{\rm DE}\)인 주어진 원 \(\rm ABC\)에 내접하는 정삼각형 한 변 \(\rm AB\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2=3{\overline{\rm DE}}^2\)이다.

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그러므로 주어진 원에 내접한 정삼각형에 대하여, 정삼각형의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이는 원의 반지름으로 만든 정사각형의 넓이의 세배이다.

Q.E.D.