증명

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지름이 유리수인 원 \(\rm ABCDE\)에 정오각형 \(\rm ABCDE\)가 내접한다.

그러면 그러면 정오각형 \(\rm ABCDE\)의 한 변의 길이 \(\rm AB\)는 무리수임을 보이자.

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원 \(\rm ABCDE\)의 중심 \(\rm F\)를 잡자.[III권 명제 1] 두 선분 \(\rm AF\), \(\rm FB\)를 그리고, 두 반직선 \(\rm AF\), \(\rm BF\)와 원 \(\rm ABCDE\)와의 교점을 각각 점 \(\rm G\), 점 \(\rm H\)라고 하자. [VI권 명제 9] 선분 \(\rm AC\)를 그리자. \(\overline{\rm FK}= \overline{\rm AF}\cdot\frac14\) 인 점 K를 선분 \(\rm FH\) 위에서 잡자.

\(\overline{\rm AF}\)는 유리수이므로 \(\overline{\rm FK}\)도 유리수이다. 또한 \(\overline{\rm BF}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm BK}\)도 유리수이다.

\(\overset{\frown}{\rm ACG}=\overset{\frown}{\rm ADG}\)이고, \(\overset{\frown}{\rm ABC}=\overset{\frown}{\rm AED}\)이다. 변변 끼리 빼면

\(\overset{\frown}{\rm ACG}-\overset{\frown}{\rm ABC}=\overset{\frown}{\rm ADG}-\overset{\frown}{\rm AED}\)

\(\overset{\frown}{\rm CG}=\overset{\frown}{\rm GD}\)이다.

선분 \(\rm CD\)와 선분 \(\rm AG\)의 교점 \(\rm L\)이라고 하자. 점 \(\rm L\)에의 모든 각은 \(90^\circ\)이며 \(\overline{\rm CD}=2\cdot\overline{\rm CL}\)이다.

선분 \(\rm AC\)를 그리자. 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BH\)와 교점을 \(\rm M이\)라고 하자. 그러면 위와 같은 이유로 점 \(\rm M\)에서 모든 각은 \(90^\circ\)이며 \(\overline{\rm AC}=2\cdot\overline{\rm CM}\)이다.

두 삼각형 \(\rm ACL\), \(\rm AFM\)에서 \(\rm\angle ALC=\angle AMF\)이고 각 \(\rm LAC\)은 공통각으로 같으므로 \(\rm\angle ACL=\angle MFA\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 두 삼각형 \(\rm ACL\), \(\rm AMF\)는 모든 대응하는 각이 같다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm LC}}{\overline{\rm CA}}=\frac{\overline{\rm MF}}{\overline{\rm FA}}\)이다. 양변에 2를 곱하면 \(\frac{2\overline{\rm LC}}{\overline{\rm CA}}=\frac{2\overline{\rm MF}}{\overline{\rm FA}}\)이다.

그런데 \(\frac{2\overline{\rm MF}}{\overline{\rm FA}}=\frac{\overline{\rm MF}}{\frac{\overline{\rm FA}}{2}}\)이다. 그러므로 \(\frac{2\overline{\rm LC}}{\overline{\rm CA}}=\frac{\overline{\rm MF}}{\frac{\overline{\rm FA}}{2}}\)이다.

그런데 \(\frac{2\overline{\rm LC}}{\overline{\frac{\overline{\rm CA}}{2}}}=\frac{\overline{\rm MF}}{\frac{\overline{\rm FA}}{4}}\)이다.

그리고 \(\overline{\rm DC}=\frac{\overline{\rm LC}}{2}\), \(\overline{\rm FA}=\frac{\overline{\rm FK}}{4}\)이므로 \(\frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm CM}}=\frac{\overline{\rm MF}}{\overline{\rm FK}}\)이다.

비례식의 덧셈에 따라서 \(\frac{\overline{\rm DC}+\overline{\rm CM}}{\overline{\rm CM}}=\frac{\overline{\rm MK}}{\overline{\rm KF}}\)이다. [V권 명제 18] 그러므로 \(\frac{\left(\overline{\rm DC}+\overline{\rm CM}\right)^2}{{\overline{\rm CM}}^2}=\frac{{\overline{\rm MK}}^2}{{\overline{\rm FK}}^2}\)이다.

정오각형의 두 변과 마주보는 선분 \(\rm AC\)를 황금비로 자르고 잘려진 두 선분 중 큰 선분은 정오각형의 변의 길이와 같다. [XIII권 명제 8] 즉, \(\overline{\rm DC}\)와 같다. 그리고 주어진 선분의 절반에 주어진 선분을 황금비로 자르고 잘려진 두 선분 중 긴 선분을 한 직선이 되로록 한 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 주어진 선분의 절반의 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 5배가 된다. [XIII권 명제 1] \(\overline{\rm CM}=\frac{\overline{\rm AC}}{2}\)이다. 따라서 \(\left(\overline{\rm DC}+\overline{\rm CM}\right)^2=5{\overline{\rm CM}}^2\)이다.

그런데 \(\frac{\left(\overline{\rm DC}+\overline{\rm CM}\right)^2}{{\overline{\rm CM}}^2}=\frac{{\overline{\rm MK}}^2}{{\overline{\rm FK}}^2}\)임을 보였다. 그러므로 \({\overline{\rm MK}}^2=5{\overline{\rm KF}}^2\)이다.

그러나 지름이 유리수이므로 \({\overline{\rm KF}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm MK}}^2\) 역시 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm KM}\)도 유리수이다.

\(\overline{\rm BF}=4\overline{\rm FK}\)이므로 \(\overline{\rm BK}=5\overline{\rm KF}\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BK}}^2=25{\overline{\rm KF}}^2\)이다.

그런데 \({\overline{\rm MK}}^2=5{\overline{\rm KF}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BK}}^2=5{\overline{\rm KM}}^2\)이다. 그러므로 \(\frac{{\overline{\rm BK}}^2}{{\overline{\rm KM}}^2}=\frac{p^2}{q^2}\)인 양의 정수 \(p\), \(q\)가 존재하지 않는다. 그러므로 \(\rm BK\)는 \(\rm KM\)의 어떤 양의 정수배가 아니다. [X권 명제 9]

그리고 \(\rm BK\), \(\rm KM\)은 모두 유리수이다. 그러므로 단지 \({\overline{\rm BK}}^2\)을 \({\overline{\rm KM}}^2\)의 정수배로 나타낼 수 있고, 유리수인 선분에서 유리수인 선분을 뺏는데, 이 두 선분은 이 두 선분으로 만든 정사각형 넓이 만을 정수배로 나타낼 수 있다면 남는 것은 길이가 무리수이며 바로 뺀 직선이다. [X권 명제 73] 그러므로 \(\rm MB\)는 뺀 선분인 무리수(apotome)이며 \(\rm MK\)는 선분 \(\rm MB\)에 붙인 선분이다.

선분 \(\rm MB\)가 네 번째 뺀 선분인 무리수임을 보이자.

\(N^2={\overline{\rm BK}}^2-{\overline{\rm KM}}^2\) (*)이 되도록 길이 \(N\)인 선분을 그리자. 그러면 \({\overline{\rm BK}}^2={\overline{\rm KM}}^2+N^2\)이다. 즉, \({\overline{\rm BK}}^2\)은 \({\overline{\rm KM}}^2\)에서 \(N^2\) 만큼 더 크다.

\(\overline{\rm KF}\)는 \(\overline{\rm FB}\)의 정수배이니, 비례식의 덧셈에 따라서 \(\overline{\rm KB}\)도 \(\overline{\rm FB}\)의 정수배이다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm BF}\)도 \(\overline{\rm BH}\)의 정수배이다. 그러므로 \(\overline{\rm BK}\)도 \(\overline{\rm BH}\)의 정수배이다. [X권 명제 12] \({\overline{\rm BK}}^2=5{\overline{\rm MK}}^2\)이므로 식 (*)에 의해서 \(\frac{{\overline{\rm MK}}^2}{N^2}=\frac{5}{1}\)이다. 그러므로 \(\frac{{\overline{\rm BK}}^2}{N^2}=\frac{5}{4}\)이다. [V권 명제 19, 따름 명제] \(\frac{{\overline{\rm BK}}^2}{N^2}=\frac{p^2}{q^2}\)인 양의 정수 \(p\), \(q\)가 존재하지 않는다. 그러므로 \(\overline{\rm BK}\)는 \(N\)의 정수배가 아니다. [X권 명제 9] 그러므로 \({\overline{\rm BK}}^2\)은 \({\overline{\rm MK}}^2\)에 비해서 \(\overline{\rm BK}\)의 정수배가 아닌 선분의 길이로 만든 정사각형의 넓이 만큼 더 크다.

\({\overline{\rm BK}}^2\)가 \({\overline{\rm MK}}^2\)에 (\(\overline{\rm BK}\)의 정수배가 아닌 선분의 길이로 만든 정사각형의 넓이) 만큼 더 크고, \(\overline{\rm BK}\)는 주어진 유리수의 정수배이므로 \(\overline{\rm MB}\)는 네 번째 뺀 무리수(apotome)이다. [X권 정의 III 4]

그러나 유리수인 길이와 네 번째 뺀 선분인 무리수를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 무리수이며 이것과 같은 넓이의 정사각형 한 변의 길이도 무리수이다. [X권 명제 93]

그런데 선분 \(\rm AH\)를 그리면 두 삼각형 \(\rm ABH\), \(\rm MBA\)는 닮음으로 모든 대응하는 각이 같으므로 \(\frac{\overline{\rm HB}}{\overline{\rm BA}}=\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BM}}\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2=\overline{\rm HB}\cdot\overline{\rm BM}\)이다.

그러므로 정오각형의 한 변 \(\rm AB\)의 길이는 마이너로 불리는 무리수이다.

그러므로 지름이 유리수인 원에 내접한 정오각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이를 ‘마이너(minor)’라고 한다.

Q.E.D.