증명

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주어진 원 \(\rm ABCDE\)에 정오각형 \(\rm ABCDE\), 정육각형, 정십각형이 내접한다.

그러면 정오각형의 \(\rm ABCDE\)의 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 정육각형의 한 변으로 만든 정사각형 넓이와 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 정십각형의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같음을 보이자.

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원 \(\rm ABCDE\)의 중심 \(\rm F\)를 잡고, 선분 \(\rm AF\)를 그리자. [III권 명제 1] 반직선 \(\rm AF\)와 원과 교점을 점 G라고 하자. 선분 \(\rm FG\)를 그리자. 선분 \(\rm FB\)를 그리자. 점 \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AB\)에 내린 수선의 발을 \(\rm H\)라하고, 선분 \(\rm FH\)를 그리자. 반직선 \(\rm FH\)와 원과의 교점을 \(\rm K\)라하고, 선분 \(\rm HK\)를 그리자. 그리고 두 선분 \(\rm AK\), \(\rm KB\)를 그리자. 점 \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AK\)에 내린 수선의 발을 \(\rm L\)이라고 하고, 선분 \(\rm FL\)을 그리고, 반직선 \(\rm FL\)과 원과의 교점을 \(\rm M\)이라하고 선분 \(\rm LN\)을 그리자. 그리고 두 선분 \(\rm FM\)과 \(\rm AB\)과의 교점을 \(\rm N\)이라 하자. 선분 \(\rm KN\)을 그리자. [I권 명제 12]

\(\overset{\frown}{\rm ABCG}=\overset{\frown}{\rm AEDG}\)이고, \(\overset{\frown}{\rm ABC}=\overset{\frown}{\rm AEG}\)이다. 따라서 다음이 성립한다.

\(\overset{\frown}{\rm ABCG} – \overset{\frown}{\rm ABC} = \overset{\frown}{\rm AEDG} – \overset{\frown}{\rm AEG}\)

\(\overset{\frown}{\rm CG} = \overset{\frown}{\rm GD}\)

그런데, 선분 \(\rm CD\)는 정오각형의 한 변이다. 그러므로 선분 \(\rm CG\)는 정심각형의 한 변이 된다.

그리고, \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm CD}\)이고 두 선분 \(\rm FH\)와 \(\rm HA\)는 수직이므로 \(\rm\angle AFK = \angle KFB\)이다. [I권 명제 5, I권 명제 26]

그러므로 \(\overset{\frown}{\rm AK} = \overset{\frown}{\rm KB}\)이다. [III권 명제 26]

따라서 \(\overset{\frown}{\rm AB} = 2 \overset{\frown}{\rm BK}\)이므로 선분 \(\rm AK\)는 정십각형의 한 변이다. 같은 이유로 \(\overline{\rm AK}=2 \overline{\rm KM}\)이다.

\(\overset{\frown}{\rm AB} = 2 \overset{\frown}{\rm BK} \)이고 \(\overset{\frown}{\rm CD} = \overset{\frown}{\rm AB} \)이므로 \(\overset{\frown}{\rm CD} = 2 \overset{\frown}{\rm BK}\)이다. 그런데 \(\overset{\frown}{\rm CD} = 2 \overset{\frown}{\rm CG} \)이다. 그러므로 \(\overset{\frown}{\rm CG} = \overset{\frown}{\rm BK} \)이다.

그런데 \(\overset{\frown}{\rm KA} = 2 \overset{\frown}{\rm KM}\)이므로 \(\overset{\frown}{\rm BK} = 2 \overset{\frown}{\rm KM}\)이다. 그러므로 \(\overset{\frown}{\rm CG} = 2 \overset{\frown}{\rm KM} \)이다.

그런데 \(\overset{\frown}{\rm CB} = \overset{\frown}{\rm BA} \)이므로 \(\overset{\frown}{\rm CB} = 2 \overset{\frown}{\rm BK} \)이다. 그러므로 \(\overset{\frown}{\rm GB} = 2 \overset{\frown}{\rm BM} \)이다. [VI권 명제 33]

그러므로 \(\rm\angle FAB = \angle ABF\)이므로 \(\rm\angle GFB = 2 \angle BFM\)이다. 따라서 \(\rm\angle BFN = \angle FAB\)이다.

그런데 \(\rm\angle ABF\)는 두 삼각형 \(\rm ABF\), \(\rm BFN\)의 공통각이다. 그러므로 \(\rm\angle AFB = \angle BNF\)이다. [I권 명제 32] 따라서 두 삼각형 \(\rm ABF\), \(\rm BFN\)는 대응하는 각들이 같다. 따라서 두 삼각형 닮음이다.

그러므로 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BF}}=\frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm BN}}\)이다. [IV권 명제 4] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BN}={\overline{\rm BF}}^2\)이다. [VI권 명제 17]

\(\overline{\rm AL}=\overline{\rm LK}\)이고 LN이 공통이고 \(\rm\angle NLA=\angle NLK=90^\circ\) 이므로 두 삼각형 \(\rm ALN\), \(\rm KLN\)은 합동이다. 따라서 \(\overline\rm{KN}=\overline{\rm AN}\)이다. 그러므로 \(\rm \angle LKN = \angle LAN\)이다.

그런데 \(\rm\angle LAN = \angle KBN\)이므로 \(\rm\angle LKN = \angle KBN\)이다.

그리고 각 \(\rm A\)는 두 삼각형 \(\rm AKB\), \(\rm ANK\)의 공통각이다. 그러므로 \(\rm\angle AKB=\rm\angle KNA\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 두 삼각형 \(\rm AKB\), \(\rm ANK\)은 대응하는 모든 각이 같다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm AK}}=\frac{\overline{\rm KA}}{\overline{\rm AN}}\)이다. [VI권 명제 4]

그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AN}={\overline{\rm AK}}^2\)이다. [VI권 명제 17]

\(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BN}={\overline{\rm BF}}^2\)임을 보였다.

\(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BN}+\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm AN}={\overline{\rm AK}}^2 + {\overline{\rm BF}}^2\)

\(\overline{\rm AB}\cdot\left(\overline{\rm AN}+\overline{\rm NB}\right)={\overline{\rm AK}}^2 + {\overline{\rm BF}}^2\)

\(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm AB}={\overline{\rm AK}}^2 + {\overline{\rm BF}}^2\)

따라서 \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AK}}^2 + {\overline{\rm BF}}^2\)이다. [II권 명제 2]

선분 \(\rm AB\)는 정오각형의 한 변이고 선분 \(\rm AK\)는 정십각형의 한 변이며, 선분 \(\rm BF\)는 정육각형의 한 변이다. [IV권 명제 15, 따름 명제]

그러므로 주어진 원에 내접하는 정오각형의 한 변으로 만든 정사각형 넓이는 같은 원에 내접하는 정육각형의 한 변으로 만든 정사각형 넓이와 정십각형의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같다.

Q.E.D.