XII 권
명제
밑면이 삼각형이며 부피가 같은 두 삼각뿔은 밑면의 넓이는 높이에 역으로 비례한다. 그리고 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하는 두 삼각뿔의 부피는 같다.
밑면이 삼각형 ABC이고 꼭짓점이 \(\rm G\)인 삼각뿔 \(\rm ABC-G\)와 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm DEF-H\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이다. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)이다.
그리고 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)인 두 삼각뿔 \(\rm ABC-G\), \(\rm DEF-H\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이다.
1) 밑면이 삼각형 ABC이고 꼭짓점이 \(\rm G\)인 삼각뿔 \(\rm ABC-G\)와 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm DEF-H\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이다.
그러면 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)임을 보이자.
평행육면체 \(\rm ABCM-IGJL\), \(\rm DEFQ-OHRP\)를 작도하자.
\((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이고, \((\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{부피}) = 6(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})\), \((\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{부피}) = 6(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이므로 \((\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{부피}) = (\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{부피})\)이다. [XII권 명제 7. 따름 명제]
그러나 부피가 같은 두 평행육면체의 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례한다. [XI권 명제 34] 그러므로 \(\frac{(\text{밑면 평행사변형}\rm ABCM \text{넓이})}{(\text{밑면 평행사면형}\rm DEFQ \text{넓이})}=\frac{(\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{높이})}{(\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{높이})}\)이다.
그런데 \(\frac{(\text{밑면 평행사변형}\rm ABCM \text{넓이})}{(\text{밑면 평행사면형}\rm DEFQ \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)이다. [I권 명제 34] 그러므로 \(\frac{(\text{삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{높이})}{(\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{높이})}\)이다. [V권 명제 11]
그런데 \((\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{높이}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})\)이고, \((\text{평행육면체 }\rm ABCM-IGJL \text{높이}) = (\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})\)이다.
그러므로 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)이다.
2) \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)인 두 삼각뿔 \(\rm ABC-G\), \(\rm DEF-H\)가 있다.
그러면 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)임을 보이자.
앞에서와 같이 평행육면체를 작도하자. \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)이고 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{높이})}{(\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{높이})}\)이므로 \(\frac{(\text{평행사변형}\rm ABCM \text{넓이})}{(\text{평행사변형}\rm DEFQ \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}\)이다.
그런데 \((\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이}) = (\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{높이})\)이고, \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이}) = (\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{높이})\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{밑면 평행사변형}\rm ABCM \text{넓이})}{(\text{밑면 평행사변형}\rm DEFQ \text{넓이})}=\frac{(\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{높이})}{(\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{높이})}\)이다.
그런데 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하는 두 평행육면체의 부피는 같다. [XI권 명제 34] 그러므로 \((\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{부피}) = (\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{부피})\)이다.
그리고 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = \frac16 (\text{평행육면체}\rm ABCM-IGJL \text{부피})\)이고 \((\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피}) = \frac16 (\text{평행육면체}\rm DEFQ-OHRP \text{부피})\)이다. 그러므로 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이다.
그러므로 밑면이 삼각형이며 부피가 같은 두 삼각뿔은 밑면의 넓이는 높이에 역으로 비례한다. 그리고 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하는 두 삼각뿔의 부피는 같다.
\((\text{밑면이 삼각형인 삼각뿔 부피}) = \frac13 (\text{밑면이 삼각형인 삼각기둥 부피})\)인데, \((\text{밑면이 삼각형인 삼각기둥 부피}) = \frac12 (\text{평행육면체 부피})\)이다. 유사한 [XI권 명제 34]가 평행육면체에 주장하기 때문에, 이 명제는 삼각뿔에 대해 주장한다.
\((\text{원뿔 부피}) = \frac13 (\text{원기둥 부피})\)과 유사한 상황이 나중에 나타날 때, 유클리드는 원뿔에 대해서도 같은 것이 존재하며, 어떠한 세부 사항도 없다고 말한다.
이 명제는 각뿔의 부피 이론을 완성한다. 다음에 나올 몇 개의 명제는 원뿔과 원기둥의 부피 이론을 다룬다.