증명

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밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 꼭짓점이 \(\rm G\)인 삼각뿔과 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔은 닮음이다.

그러면 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}} ^3}\)임을 보이자.

두 평행육면체 \(\rm BCNG-AMLK\), \(\rm EFRH-DQPO\)를 작도하여라.

두 삼각뿔 \(\rm ABC-G\), \(\rm DEF-H\)가 닮음이므로 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm\angle GBC=\angle HEF\), \(\rm\angle ABG=\angle DEH\) 그리고 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm DE}}=\frac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm EF}}=\frac{\overline{\rm BG}}{\overline{\rm EH}}\)이다.

그리고 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm DE}}=\frac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm EF}}\)이고 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\)이므로 두 평행사변형 \(\rm ABCM\), \(\rm DEFQ\)는 닮음이다. 같은 이유로 두 평행사변형 \(\rm BCNG\), \(\rm EFRH\)도 닮음이고 또한 두 평행사변형 \(\rm ABGK\), \(\rm DEHO\)도 닮음이다.

그러므로 세 평행사변형 \(\rm ABCM\), \(\rm ABGK\), \(\rm BCNG\)은 각각 평행사변형 \(\rm DEFQ\), \(\rm DEHO\), \(\rm EFRH\)과 닮음이다. 그러나 세 평행사변형 \(\rm ABCM\), \(\rm ABGK\), \(\rm BCNG\)는 대응하는 세 평행사변형 \(\rm DEFQ\), \(\rm DEHO\), \(\rm EFRH\)도 두 변의 길이와 그 끼인 각이 같은 닮음이다. [XI권 명제 24]

그러므로 두 평행육면체 \(\rm BCNG-AMLK\), \(\rm EFRH-DQPO\)은 6개의 닮은 평행사변형으로 둘러싸여 있다. 그러므로 두 평행육면체 \(\rm BCNG-AMLK\), \(\rm EFRH-DQPO\)은 닮음이다.

그런데 닮음인 두 평행육면체들의 부피 비율은 대응하는 변들의 길이의 세제곱 비율과 같다. [XI권 명제 33] 그러므로 \(\frac{(\text{평행육면체} \rm BCNG-AMLK \text{부피})}{(\text{평행육면체}\rm EFRH-DQPO \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다.

그런데 \((\text{삼각기둥의 부피})=\frac12 \text{(평행육면체 부피)}\)이고[XI권 명제 28] \(\text{(삼각뿔의 부피)}=\frac13\text{(삼각기둥의 부피)}\)이므로 [XII권 명제 7] \(\text{(삼각뿔의 부피)}=\frac16\text{(평행육면체 부피)}\)이다. 따라서 \((\text{평행육면체}\rm EFRH-DQPO \text{부피})=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}\)이다.

그러므로 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}} ^3}\)이다.

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그러므로 닮음인 밑면이 삼각형인 두 삼각뿔의 부피의 비율은 대응하는 변들의 세제곱 비율과 같다.

증명

두 각뿔을 밑면이 삼각형인 삼각뿔로 나누면, 닮음인 밑면인 두 다각형은 같은 개수의 닮음인 삼각형으로 나눌 수 있으며 두 다각형의 넓이 비율은 나누어진 닮음 삼각형들의 넓이 합의 비율과 같다. [VI권 명제 20] 그러므로 두 각뿔의 비율은 각각의 각뿔을 나눈 삼각뿔들 부피 합의 비율과 같다. [V권 명제 12] 즉, 밑면이 다각형인 두 각뿔의 전체 부피 합 비율과 같다.

그런데 두 닮음 삼각뿔 부피의 비율은 대응하는 변들의 세제곱 비율과 같다. 그러므로 밑면이 닮음 다각형인 두 닮음 각뿔의 부피 비율도 대응하는 변들의 세제곱 비율과 같다.

Q.E.D.