XII 권
명제
밑면이 삼각형인 삼각기둥은 밑면이 삼각형이며 부피가 같은 세 삼각뿔로 나눌 수 있다.
밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 반대쪽 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)인 삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\)은 부피가 같은 세 삼각뿔로 나눌 수 있다.
밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 반대쪽 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)인 삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\)이 있다.
그러면 삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\)는 부피가 같고 밑면이 삼각형인 세 삼각뿔로 나눌 수 있음을 보이자.
선분 \(\rm BD\), \(\rm EC\), \(\rm CD\)를 그리자.
사각형 \(\rm ABED\)는 평행사변형이고 선분 \(\rm BD\)는 대각선이므로 \((\text{삼각형}\rm ABD \text{넓이}) = (\text{삼각형}\rm EBD \text{넓이})\)이다. [I권 명제 34] 그러므로 밑면이 삼각형 \(\rm ABD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)와 밑면이 삼각형 \(\rm EBD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm EBD-C\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABD-C \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm EBD-C \text{부피})\)이다. [XII권 명제 5]
그런데 밑면이 삼각형 \(\rm DEB\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔과 밑면이 \(\rm EBC\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm EBC-D\)는 같은 면을 가지고 있으므로 두 삼각뿔은 같다.
그러므로 밑면이 삼각형 \(\rm ABD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)와 밑면이 삼각형 \(\rm EBC\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm EBC-D\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABD-C \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm EBC-D \text{부피})\)이다.
다시 사각형 \(\rm FCBE\)는 평행사변형이고 선분 \(\rm CE\)가 대각선이므로 \((\text{삼각형}\rm CEF \text{넓이}) = (\text{삼각형}\rm CBE \text{넓이})\)이다. [I권 명제 34]
그러므로 밑면이 삼각형 \(\rm BCE\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm BCE-D\)와 밑면이 \(\rm ECF\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm ECF-D\)는 \((\text{삼각뿔}\rm BCE-D \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm ECF-D \text{부피})\)이다. [XII권 명제 5]
그런데 밑면이 삼각형 \(\rm BCE\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm BCE-D\)와 밑면이 삼각형 \(\rm ABD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)는 \((\text{삼각뿔}\rm BCE-D \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm ABD-C \text{부피})\)임을 증명하였다. 그러므로 밑면이 삼각형 \(\rm CEF\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm CEF-D\)와 밑면이 삼각형 \(\rm ABD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)는 \((\text{삼각뿔}\rm CEF-D \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm ABD-C \text{부피})\)이다. 그러므로 삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABD-C \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm BCE-D \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm ECF-D \text{부피})\)인 밑면이 삼각형이 세 삼각뿔 \(\rm ABD-C\), \(\rm BCE-D\), \(\rm ECF-D\)로 나누었다.
밑면이 삼각형 \(\rm ABD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)와 밑면이 \(\rm CAB\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm CAB-D\)은 같은 면을 가지고 있으므로 같다. 그런데 밑면이 삼각형 \(\rm ABD\)이고 꼭짓점이 \(\rm C\)인 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)와 밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 반대쪽 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)인 삼각기둥 \(\rm ABD-DEF\)는 \((\text{삼각형}\rm ABD-C \text{부피}) = \frac13 (\text{삼각기둥}\rm ABC-DEF \text{부피})\)임을 증명하였다. 그러므로 \((\text{삼각뿔}\rm BCE-D \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm ECF-D \text{부피}) = \frac13 (\text{삼각기둥}\rm ABC-DEF \text{부피})\)이다.
그러므로 밑면이 삼각형인 삼각기둥은 밑면이 삼각형이며 부피가 같은 세 삼각뿔로 나눌 수 있다.
Q.E.D.
각뿔과 각기둥의 밑면이 같고 높이가 같으면 \((\text{각뿔의 부피}) = \frac13 (\text{각기둥의 부피})\)이다.
이 명제의 증명은 보기보다 쉽다. 삼각형 \(\rm ABD\)와 \(\rm EBD\)는 각각 평행사변형 \(\rm ABED\)의 절반이기 때문에 넓이가 같다. 그러므로 삼각뿔 \(\rm ABD-C\)와 \(\rm DEB-C\)은 동일한 밑면과 높이가 같기 때문에, [XI권 명제 5]에 의해서 두 삼각뿔이 부피는 같다. 비슷한 논리로 두 삼각뿔 \(\rm BCE-D\)와 \(\rm ECF-D\)도 부피가 같다. 하지만 두 삼각뿔 \(\rm BDE-C\)와 \(\rm BCE-D\)는 이름이 다른 같은 각뿔이다. 그래서 삼각기둥은 부피가 같은 세 개의 삼각뿔로 나눌 수 있다.