XII 권
명제
높이가 같고 밑면이 다각형인 두 각뿔의 부피의 비율은 밑면 다각형의 넓이의 비율과 같다.
밑면이 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)이고 각 꼭짓점이 \(\rm M\), \(\rm N\)인 두 각뿔의 높이가 같다고 하자. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 오각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{밑면 오각형}\rm FGHKL \text{넓이})}=\frac{(\text{오각뿔}\rm ABCDE-M \text{부피})}{(\text{오각뿔}\rm FGHKL \text{부피})}\)이다.
밑면이 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)이고 각 꼭짓점이 \(\rm M\), \(\rm N\)인 두 각뿔의 높이가 같다고 하자.
그러면 \(\frac{(\text{밑면 오각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{밑면 오각형}\rm FGHKL \text{넓이})}=\frac{(\text{오각뿔}\rm ABCDE-M \text{부피})}{(\text{오각뿔}\rm FGHKL \text{부피})}\)임을 보이자.
선분 \(\rm AC\), \(\rm AD\), \(\rm FH\), \(\rm FK\)를 그리자.
두 삼각뿔 \(\rm ABC-M\), \(\rm ACD-M\)은 밑면이 삼각형이고 높이가 같기 때문에 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ACD \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-M \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ACD-M \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 5] 그러므로 \(\frac{(\text{밑면 사각형}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ACD \text{넓이})}=\frac{(\text{사각뿔}\rm ABCD-M \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ACD-M \text{부피})}\)이다. [V권 명제 18]
그러나 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ACD \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ADE \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ACD-M \text{부피})}{(\text{사각뿔}\rm ADE-M \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 5]
그러므로 비례식의 평등원리에 따라서, \(\frac{(\text{밑면 사각형}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ADE \text{넓이})}=\frac{(\text{사각뿔}\rm ABCD-M \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ADE-M \text{부피})}\)이다. [V권 명제 22]
그리고 다시, 이들에 대해 비례식 덧셈 정리에 의해서, \(\frac{(\text{밑면 사각형}\rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ADE \text{넓이})}=\frac{(\text{오각뿔}\rm ABCDE-M \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ADE-M \text{부피})}\)이다. 역시 같은 방법으로 \(\frac{(\text{밑면 오각형}\rm FGHKL \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm FGH \text{넓이})}=\frac{(\text{오각뿔}\rm FGHKLN \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm FGH-N \text{부피})}\)이다. [V권 명제 18]
그리고 두 삼각뿔 \(\rm ADE-M\), \(\rm FGH-N\)이 밑면이 삼각형이고 높이가 같기 때문에, \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ADE \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm FGH \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ADE-M \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm FGH-N \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 5]
그러나 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ADE \text{넓이})}{(\text{밑면 오각형}\rm ABCDE \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ADE-M \text{부피})}{(\text{오각뿔}\rm ABCDE-M \text{부피})}\)이다. 그러므로 비례식 평등원리에 의해서, \(\frac{(\text{밑면 오각형}\rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm FGH \text{넓이})}=\frac{(\text{오각뿔}\rm ABCDE-M \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm FGH-N \text{부피})}\)이다. [V권 명제 22]
또한 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm FGH \text{넓이})}{(\text{밑면 오각형}\rm FGHKL \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm FGH-N \text{부피})}{(\text{오각뿔}\rm FGHKL-N \text{부피})}\)이다. [V권 명제 22]
그러므로 높이가 같고 밑면이 다각형인 두 각뿔의 부피의 비율은 밑면 다각형의 넓이의 비율과 같다.
Q.E.D.
중요한 것은 각뿔의 밑면이 닮음일 필요는 없다는 것이다. 각뿔의 옆면 수는 다를 수도 있다.
이 명제는 원뿔과 원기둥의 부피에 관한 [XI권 명제 10]과 [XI권 명제 11]에서 사용된다.