증명

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높이가 같은 두 삼각뿔에 대하여, 두 밑면이 각각 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)라고 하자.

그러면 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)임을 보이자.

만약 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}\ne\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)이라고 하면, \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{보다 더 큰 입체도형 부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)또는 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{보다 더 작은 입체도형 부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\) 둘 중 하나가 성립한다.

1) \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{보다 더 작은 입체도형}\rm W \text{부피})\)이라고 하자.

그러면 (두 삼각기둥 부피의 합) \(>\) (삼각뿔 \(\rm DEF-H\)의 부피)이다. [XII권 명제 3] 이때 두 삼각뿔을 같은 방법으로 더 나누어라. 이 과정을 반복하여 (남은 삼각뿔들을 다 더한 것의 부피) \(<\) (삼각뿔 \(\rm DEF-H\) 부피) \(-\) (입체도형 \(\rm W\) 부피)이 되도록 하자. [X권 명제 1]

증명을 진행시키기 위해, 이때 남은 두 삼각뿔을 삼각뿔 \(\rm DQR-S\), 삼각뿔 \(\rm STU-H\)이라고 하자. 그러면 (삼각뿔 \(\rm DEF-H\)를 나누어 생긴 두 각기둥의 부피 합) \(>\) (입체도형 \(\rm W\) 부피)이다.

삼각뿔 \(\rm DEF-H\)를 나눈 것과 똑같은 방법으로 똑같은 횟수 만큼 삼각뿔 \(\rm ABC-G\)를 나누자. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G\text{를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합})}\)이다. [XII권 명제 4]

그런데 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm W \text{부피})}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm W \text{부피})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G\text{를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합})}\)이다. [V권 명제 11] 따라서 바꾼 비례식에 의해서 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G\text{를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합})}=\frac{(\text{입체도형}\rm W \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합})}\)이다. [V권 명제 16]

(삼각뿔 \(\rm ABC-G\) 부피) \(>\) (삼각뿔\(\rm ABC-G\)를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합)이므로 (입체도형\(\rm W\) 부피) \(>\) (삼각뿔\(\rm DEF-H\)를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합)이다.

그러나 (입체도형 \(\rm W\) 부피) \(<\) (삼각뿔 \(\rm DEF-H\)를 나누어 나온 삼각기둥들의 부피 합)이므로 이것은 모순이다.

그러므로 비율 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{보다 더 작은 입체도형의 부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)일 수 없다.

같은 방법으로 비율 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G\text{보다 더 작은 입체도형 부피})}\ne\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}\)임을 보일 수 있다.

2) 다음으로 \(\frac{(\text{삼각뿔}rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{보다 큰 입체도형 부피})}\ne\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)임을 보이자.

만약 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{보다 큰 입체도형 부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)이라고 하자. 삼각뿔 \(\rm DEF-H\) 보다 큰 입체도형을 입체도형 \(\rm W\)라 하고 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm W \text{부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)이라고 하자. 그러면 역으로 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}=\frac{(\text{입체도형}\rm W \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}\)다.

그러나 앞에서 증명한 것과 비슷한 방법으로, \(\frac{(\text{입체도형}\rm W \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G\text{보다 작은 입체도현 부피})}\)이다. [XII권 명제2, 보조명제] 그러므로 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G\text{보다 작은 입체도형 부피})}\)이다. [V권 명제 11] 그러나 이것 불가능함을 증명하였다.

그러므로 비율 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H\text{보다 더 큰 입체도형 부피})}\ne\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)을 보였다.

그러나 삼각뿔 \(\rm DEF-H\) 보다 더 작은 입체도형과의 비율을 구해도 같아질 수 없음을 보였다.

그러므로 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}\)이다.

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그러므로 밑면이 삼각형이며 높이가 같은 두 삼각뿔의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.

Q.E.D.