증명

---

밑면이 각각 삼각형 \(\rm ABC\), 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)이며 높이가 같은 두 삼각뿔 \(\rm ABC-G\), \(\rm DEF-H\)에 대하여, 각각 삼각뿔을 부피가 같고 닮은꼴인 두 삼각뿔과 부피가 같은 두 삼각기둥으로 나누자. [XII권 명제 3]

그러면 두 밑면 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 넓이의 비율은 삼각뿔 \(\rm ABC-G\)에서 나온 두 삼각기둥 \(\rm BOLK-PM\), \(\rm COL-NMP\)의 부피의 합과 삼각뿔 \(\rm DEF-H\)에서 나온 두 삼각기둥 \(\rm EVRQ-ST\), \(\rm FRV-UST\)의 부피의 합의 비율과 같음을 보이자.
즉, \(\frac{(\text{삼각형} \rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형} \rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각기둥} \rm BOLK-PM \text{넓이})+(\text{삼각기둥} \rm COL-NMP \text{넓이})}{(\text{삼각기둥} \rm EVRQ-ST \text{넓이})+(\text{삼각기둥} \rm FRV-UST \text{넓이})}\)임을 보이자.

\(\overline{\rm OB}=\overline{\rm OC}\)이고, 이기 때문에 두 선분 \(\rm LO\), \(\rm AB\)는 평행하고 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm LOC\)는 닮은꼴이다. 같은 이유로 두 삼각형 \(\rm DEF\), \(\rm RVF\)도 닮은꼴이다.

\(\overline{\rm BC}=2 \cdot \overline{\rm CO}\), \(\overline{\rm EF}=2 \cdot \overline{\rm FV}\)이기 때문에 \(\frac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm CO}}=\frac{\overline{\rm EF}}{\overline{\rm FV}}\)이다.

선분 \(\rm BC\)을 한 변으로 하는 삼각형 \(\rm ABC\)와 선분 \(\rm OC\)를 한 변으로 하는 삼각형 \(\rm LOC\)를 한 평면에 같은 방향에 놓았다. 그리고 선분 \(\rm EF\)를 한 변으로 하는 삼각형 \(\rm DEF\)와 선분 \(\rm VF\)를 한 변으로 하는 삼각형 \(\rm RVF\)를 같은 방향에 놓았다. 그러므로 \(\frac{(\text{삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형}\rm LOC \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각형}\rm DEF \text{넓이})}{(\text{삼각형} \rm RVF \text{넓이})}\)이다. [VI권 명제 22]

바꾼 비례식에 의해서 \(\frac{(\text{삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각형}\rm LOC \text{넓이})}{(\text{삼각형} \rm RVF \text{넓이})}\)이다. [V권 명제 16] 그런데 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm LOC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형} \rm RVF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm RVF-STU \text{부피})}\)이다. [밑에 있는 보조 명제]

그러므로 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm RVF-STU \text{부피})}\)이다.

그런데 \(\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm RVF-STU \text{부피})}=\frac{(\text{삼각기둥} \rm KBOL-PM \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm QEVR-ST \text{부피})}\)이다. [XI권 명제 39, XII권 명제 3]

그러므로 \(\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})}{(\text{삼각기둥} \rm RVF-STU \text{부피})}=\frac{(\text{삼각기둥}\rm KBOL-PM \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm QEVR-ST \text{부피})}=\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})+(\text{삼각기둥}\rm KBOL-PM \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm RVF-STU \text{부피})+(\text{삼각기둥}\rm QEVR-ST \text{부피})}\)이다. [V권 명제 12]

그러므로 \(\frac{(\text{삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})+(\text{삼각기둥}\rm KBOL-PM \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm RVF-STU \text{부피})+(\text{삼각기둥}\rm QEVR-ST \text{비율})}\)이다.

같은 방법으로 두 삼각뿔 \(\rm PMN-G\), \(\rm STU-H\)를 각각 두 개의 삼각기둥과 두 개의 삼각뿔로 나누면, \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm PMN \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm STU \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm PMN-G \text{안의 두 개의 삼각기둥 부피 합})}{(\text{삼각뿔}\rm STU-H \text{안의 두 개의 삼각기둥 부피 합})}\)이다.

그런데 (삼각형 \(\rm PMN\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm LOC\) 넓이), (삼각형 \(\rm STU\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm LOC\) 넓이)이기 때문에 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm PMN \text{넓}이)}{(\text{밑면 삼각형}\rm STU \text{넓이})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)이다.

그러므로 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm PMN-G \text{안의 두 각기둥 부피}) + (\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{안의 두 각기둥 부피})}{(\text{삼각뿔}\rm STU-H \text{안의 두 각기둥 부피}) + (\text{삼각뿔} \rm DEF-H \text{안의 두 각기둥 부피})}\)이다. 비슷한 방법으로 남은 두 삼각뿔 \(\rm AKL-P\), \(\rm DQR-S\)도 두 개의 삼각뿔과 두 개의 삼각기둥으로 나누면, \(\frac{(\text{밑면 삼각형} \rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{안의 모든 각기둥 부피})}{(\text{삼각뿔} \rm DEF-H \text{안의 모든 각기둥 부피})}\)이다.

---

그러므로 밑면이 삼각형이고 높이가 같은 두 삼각뿔에 대하여, 이 두 삼각뿔을 각각 부피가 같고 전체 삼각뿔과 닮은꼴인 두 개의 삼각뿔과 부피가 같은 두 개의 삼각기둥으로 나누어라. 그러면 처음 두 삼각뿔의 밑면의 넓이의 비율은 각각의 삼각뿔에서 나온 두 삼각기둥의 부피 합의 비율과 같다.

Q.E.D.

증명

앞의 그림에서 점 \(\rm G\)에서 평면 \(\rm ABC\)에 수선을 그리고, 점 \(\rm H\)에서 평면 \(\rm DEF\)에 수선을 그리자. 그러면 가정에 의해서 삼각뿔의 높이가 같기 때문에 이 두 수선의 길이가 같다. [XI권 명제 11]

평행한 두 평면 \(\rm ABC\), \(\rm PMN\)에 의해서 선분 \(\rm GC\)와 점 \(\rm G\)에서 그은 수선의 선분들은 같은 비율이다. [XI권 명제 17]

그런데 평면 \(\rm PMN\)은 선분 \(\rm GC\)를 이 선분 중점 \(\rm N\)에서 이등분한다. 그러므로 점 \(\rm G\)에서 평면 \(\rm ABC\)에 그은 수선도 평면 \(\rm PMN\)에 의해서 이등분된다. 같은 이유로 점 \(\rm H\)에서 평면 \(\rm DEF\)에 그은 수선을 평면 \(\rm STU\)가 이등분한다. 점 \(\rm G\)에서 평면 \(\rm ABC\)에 그은 수선의 길이와 점 \(\rm H\)에서 평면 \(\rm DEF\)에 그은 수선의 길이는 같기 때문에, 두 평면 \(\rm PMN\), \(\rm ABC\) 거리와 두 평면 \(\rm STU\), \(\rm DEF\)와의 거리도 같다.

그러므로 두 삼각기둥 \(\rm LOC-PMN\), \(\rm RVF-STU\) 높이가 같다.

그런데 높이가 같은 이 두 삼각기둥을 가지고 평행육면체를 만들면 그들의 부피 비율은 밑면들의 넓이 비율과 같다. [XI권 명제 32] 그러므로 (삼각기둥 부피)\(\=\frac12\)(평행육면체 부피)이므로 \(\frac{(\text{삼각기둥}\rm LOC-PMN \text{부피})}{(\text{삼각기둥}\rm RVF-STU \text{부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm LOC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm RVF \text{넓이})}\)이다.

Q.E.D.