증명

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밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 꼭짓점이 점 \(\rm D\)인 각뿔 \(\rm ABC-D\)가 있다.

그러면 삼각뿔 \(\rm ABC-D\)은 두 개의 각뿔과 두 개의 각기둥으로 나누어질 수 있고, 두 각뿔은 밑면이 삼각형이고 서로 닮은꼴이며 부피가 같고, 전체 각뿔과 닮은꼴이며, 두 각기둥은 부피가 같고, 두 각기둥의 부피는 전체 각뿔의 부피의 절반 보다 크다는 것을 보이자.

1) 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\), \(\rm AD\), \(\rm DB\), \(\rm DC\)의 중점을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\), \(\rm K\), \(\rm L\)이라고 하자. 선분 \(\rm HE\), \(\rm EG\), \(\rm GH\), \(\rm HK\), \(\rm KL\), \(\rm LH\), \(\rm KF\), \(\rm FG\)를 그리자. [I권 명제 10]

\(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm DH}\)이므로 두 선분 \(\rm EH\), \(\rm DB\)는 평행하다. [VI권 명제 2] 같은 이유로 두 선분 \(\rm HK\), \(\rm AB\)도 평행하다. 그러므로 사각형 \(\rm HEBK\)는 평행사변형이며 이다. [I권 명제 34]

그런데 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm EA}\)이므로 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm HK}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm HD}\)이다. 따라서 두 삼각형 \(\rm EAH\), \(\rm KHD\)에서 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm KH}\), \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm HD}\)이고, \(\rm\angle EAH=\angle KHD\)이다. 따라서 두 밑변 \(\rm EH\), \(\rm KD\)는 \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm KD}\)이다. [I권 명제 4]

그러므로 두 삼각형 \(\rm AEH\), \(\rm HKD\)는 합동이다. 같은 방법으로 두 삼각형 \(\rm AHG\), \(\rm HLD\)는 합동이다.

두 선분 \(\rm EH\), \(\rm HG\)가 만나고 또 다른 두 선분 \(\rm KD\), \(\rm DL\)이 만나며 두 선분 \(\rm EH\), \(\rm KD\)가 평행하고 두 선분 \(\rm HG\), \(\rm DL\)도 평행하고, 두 선분 \(\rm EH\), \(\rm HG\)와 두 선분 \(\rm KD\), \(\rm DL\)은 한 평면에 놓여 있지 않으므로, \(\rm\angle EGH=\angle KDL\)이다. [XI권 명제 10]

\(\overline{\rm EH}=\overline{\rm DK}\), \(\overline{\rm HG}=\overline{\rm DL}\), \(\rm\angle EGH=\angle KDL\)이므로 두 밑변 \(\rm EG\), \(\rm KL\)은 \(\overline{\rm EG}=\overline{\rm KL}\)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm EGH\), \(\rm KDL\)은 합동이다. [I권 명제 4] 같은 이유로 두 삼각형 \(\rm AEG\), \(\rm HKL\)도 합동이다.

그러므로 밑변이 삼각형 \(\rm AEG\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm AEG-H\)와 밑변이 삼각형 HKL이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm HKL-D\)는 합동이다. [XI권 정의 10]

선분 \(\rm HK\)는 삼각형 \(\rm ADB\)의 한 변 \(\rm AB\)에 평행하고, 두 삼각형 \(\rm ADB\), \(\rm HDK\)는 각들의 크기가 모두 같다. [I권 명제 29] 그러므로 각 변들의 길이는 비례하고, 두 삼각형 \(\rm ADB\), \(\rm HDK\)는 닮음이다. [VI권 정의 1] 같은 이유로 두 삼각형 \(\rm BDC\), \(\rm KDL\)은 닮은꼴이며, 두 삼각형 \(\rm ADC\), \(\rm HDL\)도 닮은꼴이다.

두 선분 \(\rm BA\), \(\rm AC\)가 만나고, 두 선분 \(\rm KH\), \(\rm HL\)이 만나며, 두 선분 \(\rm BA\), \(\rm KH\)는 평행하고, 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm HL\)이 평행하며, 두 선분 \(\rm BA\), \(\rm AC\)와 두 선분 \(\rm KH\), \(\rm HL\)가 같은 평면 위에 있지 않으므로 이다. [XI권 명제 10]

\(\frac{\overline{\rm BA}}{\overline{\rm AC}}=\frac{\overline{\rm KH}}{\overline{\rm HL}}\)이므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm HKL\)은 닮은꼴이다.

그러므로 밑변이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm ABC-D\)는 밑변이 삼각형 \(\rm HKL\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm HKL-D\)과 닮은꼴이다./p>

그런데 밑변이 삼각형 \(\rm HKL\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm HKL-D\)는 밑변이 \(\rm AEG\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm AEG-H\)와 닮은꼴임을 보였다. 그러므로 두 삼각뿔 \(\rm AEG-H\), \(\rm HKL-D\)는 전체 삼각뿔 \(\rm ABC-D\)와 닮은꼴이다.

2) 다음으로 \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm FC}\)이므로 (평행사변형 \(\rm EBFG\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm GFC 넓이\))이다. 두 삼각기둥의 높이가 \(\overline{\rm HG}\)로 같으며, 밑면이 평행사변형 \(\rm EBFG\)이고 다른 하나는 밑면이 삼각형 \(\rm GFC\)이고, (평행사변형 \(\rm EBFG\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm GFC\) 넓이)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm BKF\), \(\rm EHG\), 세 평행사변형 \(\rm EBFG\), \(\rm EBKH\), \(\rm HKFG\)로 만든 삼각기둥의 부피는 두 삼각형 \(\rm GFC\), \(\rm HKL\), 세 평행사변형 \(\rm KFCL\), \(\rm LCGH\), \(\rm HKFG\)로 구성된 삼각기둥 부피와 같다. [XI권 명제 39] 즉, 두 삼각기둥의 부피는 (삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\) 부피)\(=\)(삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)이다.

선분 \(\rm EF\), \(\rm EK\)를 그리자. 그러면 밑면이 평행사변형 \(\rm EBFG\)이고 맞은편 선분 \(\rm HK\)로 이루어진 각기둥 \(\rm EBFG-HK\)과 밑면이 삼각형 \(\rm EBF\)이고 꼭짓점이 \(\rm K\)인 삼각뿔 \(\rm EBF-K\)의 부피는 (각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)\(>\)(삼각뿔 \(\rm EBF-K\) 부피)이다.

그런데 크기가 같고 닮은꼴의 평면도형으로 둘러쌓은 두 입체도형의 부피는 같다. 그러므로 밑면이 삼각형 \(\rm EBF\)이고 꼭짓점이 \(\rm K\)인 삼각뿔 \(\rm EBF-K\)와 밑면이 삼각형 \(\rm AEG\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm AEG-H\)은 (삼각뿔 \(\rm EBF-K\) 부피)\(=\)(삼각뿔 \(\rm AEG-H\) 부피)이다.

그러므로 밑면이 평행사변형 \(\rm EBFG\)이고 맞은편 선분 \(\rm HK\)로 이루어진 삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\)과 밑면이 삼각형 \(\rm AEG\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm AEG-H\)는 (삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)\(>\)(삼각뿔 \(\rm AEG-H\) 부피)이고, 밑면이 삼각형 \(\rm GFC\)이고 맞은편 삼각형 \(\rm HKL\)으로 이루어진 삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\)과 밑면이 삼각형 \(\rm HKL\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm HKL-D\)은 (삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\) 부피)\(>\)(삼각뿔 \(\rm HKL-D\) 부피)이다.

그러므로 밑면이 평행사변형 \(\rm EBFG\)이고 맞은편 선분 \(\rm HK\)인 삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\)와 밑면이 삼각형 \(\rm AEG\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm AEG-H\)는 (삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)\(>\)(삼각뿔 \(\rm AEG-H\) 부피)이다. 그런데 밑면이 평행사변형 \(\rm EBFG\)이고 맞은편 선분이 HK인 삼각기둥 EBFG-HK와 밑면이 삼각형 GFC이고 맞은편 면이 삼각형 HKL인 삼각기둥 GFC-HKL은 (삼각기둥 EBFG-HK 부피)\(=\)(삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\) 부피)이다. 또한 밑면이 삼각형 \(\rm AEG\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm AEG-H\)와 밑면이 삼각형 \(\rm HKL\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm HKL-D\)는 (삼각뿔 \(\rm AEG-H\) 부피)\(=\)(삼각뿔 \(\rm HKL-D\) 부피)이다.

따라서 (삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)\(+\)(삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\) 부피)\(>\)(삼각뿔 \(\rm AEG-H\) 부피)\(+\)(삼각뿔 \(\rm HKL-D\) 부피)이다.

그러므로 밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 꼭짓점이 \(\rm D\)인 삼각뿔 \(\rm ABC-D\)는 두 삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\), \(\rm GFC-HKL\)와 두 삼각뿔 \(\rm AEG-H\), \(\rm HKL-D\)로 나누었는데 (삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)\(=\)(삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\) 부피)이고 두 삼각뿔 \(\rm AEG-H\), \(\rm HKL-D\)은 합동이고, (삼각기둥 \(\rm EBFG-HK\) 부피)\(+\)(삼각기둥 \(\rm GFC-HKL\) 부피)\(>\)(삼각뿔 \(\rm AEG-H\) 부피)\(+\)(삼각뿔 \(\rm HKL-D\) 부피)이다.

그러므로 임의의 밑면이 삼각형인 각뿔은 두 개의 각뿔과 두 개의 각기둥으로 나누어질 수 있다. 두 각뿔은 밑면이 삼각형이고, 서로 닮은꼴이며 부피가 같고, 전체 각뿔과 닮은꼴이다. 두 각기둥은 부피가 같으며, 두 각기둥의 부피의 합은 전체 각뿔의 절반보다 더 크다

Q.E.D.