XII 권
명제
두 원의 넓이의 비는 각 원의 지름을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 비와 같다.
두 원 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EFGH\)에 대하여, 각 원의 지름을 각각 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)이라고 하자. 그러면 두 원 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EFGH\)의 넓이의 비율과 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 비율은 \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)이다.
두 원 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EFGH\)에 대하여, 각 원의 지름을 각각 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)이라고 하자.
그러면 두 원 ABCD와 EFGH의 넓이의 비율과 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 비율이 \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)임을 보이자.
만약 \(\frac{(\text{선분} \rm BD\text{가 한 변인 정사각형 넓이})}{(\text{선분} \rm FH\text{가 한 변인 정사각형 넓이})}=\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}\)이라고 하면
\(\frac{\left(\text{원}\rm ABCD\text{넓이}\right)}{\left(\text{원}\rm EFGH\text{넓이}\right)}>\frac{\left(\text{선분}\rm BD \text{가 한 변인 정사각형 넓이}\right)}{\left(\text{선분}\rm FH\text{가 한변인 정사각형 넓이}\right)}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\) 또는 \(\frac{\left(\text{원}\rm ABCD\text{넓이}\right)}{\left(\text{원}\rm EFGH\text{넓이}\right)}< \frac{\left(\text{선분}\rm BD \text{가 한 변인 정사각형 넓이}\right)}{\left(\text{선분}\rm FH\text{가 한변인 정사각형 넓이}\right)}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)이어야 한다. 그러면 \(\frac{\left(\text{원}\rm ABCD \text{넓이}\right)}{\rm S}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)인 넓이 \(\rm S\)를 구하여야 한다.
1) \(\rm S <\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)이고 \(\frac{\text{원} \rm ABCD \text{넓이}}{\rm S}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)인 넓이 \(\rm S\)라고 하자.
원 \(\rm EFGH\) 안에 내접한 정사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자.
점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)에서 원에 접하도록 직선을 그려서 각각 인접한 두 직선과의 교점을 잡고 이 교점들을 그려 원에 외접하는 정사각형을 작도할 수 있다. [III권 명제 17]
그러면 (정사각형 \(\rm EFGH\) 넓이) \(=\frac12\) (원 \(\rm EFGH\)에 외접하는 정사각형 넓이)이다. [IV권 명제 6] 그리고 (정사각형 \(\rm EFGH\) 넓이) \(>\frac12\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)이고 (원 \(\rm EFGH\) 넓이) \(<\) (원 \(\rm EFGH\)에 외접한 정사각형 넓이)이기 때문에 (정사각형 \(\rm EFGH\)넓이) \(>\frac12\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)이다.
호 \(\rm EF\), \(\rm FG\), \(\rm GH\), \(\rm HE\)를 이등분하는 점을 각각 \(\rm K\), \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\)이라 하자, 선분 \(\rm EK\), \(\rm KF\), \(\rm FL\), \(\rm LG\), \(\rm GM\), \(\rm MH\), \(\rm HN\), \(\rm NE\)를 그리자.
점 \(\rm K\)에서 원에 접하도록 선분을 그리고, 선분 \(\rm EF\)의 양 끝 점 \(\rm E\), \(\rm F\)에서 선분 \(\rm EF\)에 수직인 직선과 점 \(\rm K\)에서 원에 접한 접선의 두 교점과 두 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 네 점으로 하는 직사각형을 만들자. 그러면 (삼각형 \(\rm EKF\) 넓이) \(=\frac12\) (선분 \(\rm EF\)를 한 변으로 하는 직사각형 넓이)이고, (활꼴 \(\rm EKF\) 넓이) \(<\) (선분 \(\rm EF\)를 한 변으로 하는 직사각형 넓이)이다. 따라서 (삼각형 \(\rm EKF\) 넓이) \(>\frac12\) (활꼴 \(\rm EKF\) 넓이)이다. [III권 명제 7]
같은 방법으로 점 \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\)에 대해서도 적용을 하면 (삼각형 \(\rm FLG\) 넓이) \(>\frac12\) (활꼴 \(\rm FLG\) 넓이), (삼각형 \(\rm GMH\) 넓이) \(>\frac12\) (활꼴 \(\rm GMH\) 넓이) , (삼각형 \(\rm HNE\) 넓이) \(>\frac12\) (활꼴 \(\rm HNE\) 넓이)이다.
[XI권 명제 1]에서 증명을 하였듯이, 주어진 \(a > b > 0\)인 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a- \frac12 a - \left(\frac12 \right)^2 a - \left(\frac12 \right)^3 - \cdots - \left(\frac12 \right)^n a < b\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. [XI권 명제 1] 그러므로 호들을 이등분하고 호들을 이등분하는 점들을 선분으로 그리고 선분들에 대한 호들을 다시 이등분하고 호들을 이등분하는 점들을 선분으로 그리는 과정을 반복해서 하자. 이 과정을 반복하면 (남아있는 조그마한 활꼴들의 넓이 합) \(<\) (원 \(\rm EFGH\)) \(- \rm S\)이 되도록 만들 수 있다.
남는 것이 원하는 만큼 작아졌다고 하자. 즉, {(활꼴 \(\rm EK\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm KF\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm FL\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm LG\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm GM\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm MH\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm HN\) 넓이) \(+\) (활꼴 \(\rm NE\) 넓이)} \(<\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이) \(- \rm S\)이라고 하자.
그러면 (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이) \(> \rm S\)이다.
원 \(\rm ABCD\)에 다각형 \(\rm EKFLGMHN\)과 닮은꼴 내접 다각형 \(\rm AOBPCQDR\)을 작도하자.
그러면 \(\frac{\left(\text{다각형} \rm AOBPCQDR \text{넓이}\right)}{\left(\text{다각형} \rm EKFLGMHN \text{넓이}\right)}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)이다. [XII권 명제 1]
그런데 \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}=\frac{\left(\text{원}\rm ABCD\text{넓이}\right)}{\rm S}\)이다. [V권 명제 11] 그러므로 바꾼 비례식에 따라서 \(\frac{\left(\text{원}\rm ABCD\text{넓이}\right)}{\left(\text{다각형}\rm AOBPCQDR \text{넓이}\right)}=\frac{\rm S}{\left(\text{다각형}\rm EKFLGMHN \text{넓이}\right)}\)이다. [V권 명제 16]
그런데 (원 \(\rm ABCD\) 넓이) \(>\) (다각형 \(\rm AOBPCQDR\) 넓이)이다. 그러므로 \(\rm S\) \(>\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)이다. 그러나 \(\rm S\) \(<\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)이라는 가정에 모순이다.
그러므로 \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}=\frac{\left(\text{원}\rm ABCD\text{넓이}\right)}{\rm S}\)이고 \(\rm S\) \(<\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)인 넓이 \(\rm S\)는 구할 수 없다.
같은 방법으로 \(\frac{\left(\text{원}\rm EFGH\text{넓이}\right)}{\rm S}=\frac{\overline{\rm FH}^2}{\overline{\rm BD}^2}\)이고 \(\rm S\) \(<\) (원 \(\rm ABCD\) 넓이)인 넓이 \(\rm S\)가 존재하지 않는 다는 것을 보일 수 있다.
2) \(\frac{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}{\rm S}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)이고 \(\rm S\) \(>\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)인 넓이 \(\rm S\)가 존재하지 않음을 보이자.
만약 이것이 가능하다고 하면, \(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}=\frac{\overline{\rm FH}^2}{\overline{\rm BD}^2}\)인 \(\rm S\)가 존재한다.
그런데 \(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}=\frac{\left(\text{원} \rm EFGH \text{넓이}\right)}{rm T}\)인 \(\rm T <\) (원 \(\rm ABCD\) 넓이)인 넓이 T가 존재한다. [V권 명제 11, 보조 명제] 그런데 이것은 불가능하다는 것을 위에서 보였다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}=\frac{\left(\text{원} \rm ABCD\text{넓이}\right)}{rm S}\)이고 \(\rm S >\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)인 \(\rm S\)가 존재하지 않는 다는 것을 보였다.
그러므로 \(\frac{\left(\text{원}\rm ABCD\text{넓이}\right)}{\left(\text{원}\rm EFGH\text{넓이}\right)}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)이다.
그러므로 두 원의 넓이의 비는 각 원의 지름을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 비와 같다.
Q.E.D.
두 원의 넓이의 비는 각각의 지름을 제곱한 비에 비례한다.
\(\rm S\) \(>\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)인 넓이 \(\rm S\)에 대하여 \(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}=\frac{\left(\text{원} \rm EFGH \text{넓이}\right)}{\rm T}\)이고 \(\rm T\) \(<\) (원 \(\rm ABCD\) 넓이)인 넓이 \(\rm T\)가 존재한다.
\(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}=\frac{\left(\text{원} \rm EFGH \text{넓이}\right)}{\rm T}\)인 넓이 \(\rm T\)가 존재한다고 하자.
그러면 \(\rm T\) \(<\) (원 \(\rm ABCD\) 넓이)임을 보이자.
\(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}=\frac{\left(\text{원} \rm EFGH \text{넓이}\right)}{\rm T}\)이므로 이 비례식을 바꾼 식은 \(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm EFGH \text{넓이}\right)}=\frac{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}{\rm T}\)이다. [V권 명제 16]
그런데 \(\rm S\) \(>\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)이므로 (원 \(\rm ABCD\) 넓이) \(>\) \(\rm T\)이다.
그러므로 \(\frac{\rm S}{\left(\text{원} \rm ABCD \text{넓이}\right)}=\frac{\left(\text{원} \rm EFGH \text{넓이}\right)}{\rm T}\)이고, \(\rm T\) \(<\) (원 \(\rm ABCD\) 넓이)인 넓이 \(\rm T\)가 존재한다.
그러므로 두 원의 넓이의 비는 각각의 지름을 제곱한 비에 비례한다.
Q.E.D.
마지막 명제에서는 원에 내접한 닮은 다각형이 원의 지름이 한 변인 정사각형에 비례한다는 것을 보여주었다. 닮은 다각형으로 원을 근접하게 근사하면 비율이 원에도 적용된다.
이 증명의 형태는 모순에 의한 이중 증명(double proof)이다. \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\) \(=\) \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}\)를 비교할 때 세 가지 경우가 있다.
첫 번째 경우 \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\) \(=\) \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{\rm S}\)와 같으며, 여기서 \(\rm S\) \(<\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)이다. 대부분의 증명은 이 경우에 반박하는 데 사용되었다.
두 번째 경우 \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\) \(=\) \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{\rm S}\)와 같으며, 여기서 \(\rm S\) \(>\) (원 \(\rm EFGH\) 넓이)이다. 이는 \(\rm S\) \(<\) (원 \(\rm ABCD\) 넓이)인 넓이 \(\rm S\)에 대하여 \(\frac{\overline{\rm FH}^2}{\overline{\rm BD}^2}\) \(=\) \(\frac{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}{\rm S}\)와 같다는 문장으로 반전되며, 이는 이미 발생하지 않은 사례로 확인된 첫 번째 경우이다.
세 번째는 \(\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\) \(=\) \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}\)이다. (사실 이 마지막 단계에서 증명에는 차이가 있다. 이 세 가지 경우만으로는 증명되지는 않았다. 제곱의 비율이 원의 비율과 같거나 크거나 작거나 같은 세 가지 경우가 있을 수 있지만, 이 세 번째 경우에서 증명의 세 가지 경우는 한 단계 제거된다.)
첫 번째 경우는 매우 근사한 다각형에 의해 원에 대한 근사값으로 처리한다. 원 \(\rm EFGH\)에 내접한 사각형 EFGH로 시작하고, 나머지 넓이가 원의 넓이 절반보다 작다는 것을 보여준다. 다음으로 원주가 이등분되어 8각형 \(\rm EKFLGMHN\)을 작도하며, 원의 나머지 넓이가 이전 나머지의 넓이 보다 작다는 것을 보인다. \(16\), \(32\), \(64\) 등의 다각형이 계속되면 변이 구성되고 각 변은 이전 남은 넓이의 절반보다 작게 남는다.
이제 넓이 \(\rm S\)는 (원 \(\rm EFGH\) 넓이) \(>\) \(\rm S\) 이며, 위에서 언급한 [X권 명제 1]에 의해서, 나머지는 \(\rm S\)에 대한 원 \(\rm EFGH\) 넓이의 초과 넓이 보다 작을 것이다.
나머지 증명의 경우 해당 단계에서 다각형 \(\rm EKFLGMHN\)와 넓이 \(\rm S\) 다음 식을 만족한다.
(원 \(\rm EFGH\) 넓이) \(–\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이) \(< \)(원 \(\rm EFGH\) 넓이) \(–\) \(\rm S\)
따라서 \(\rm S\) \(<\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)이다.
닮은 다각형 \(\rm AOBPCQDR\)은 원 \(\rm ABCD\)에 내접한다. 그러므로
(원 \(\rm ABCD\) 넓이) \(:\) \(\rm S\) \(=\) \(\overline{\rm BD}^2\) \(:\) \(\overline{\rm FH}^2\) \(=\) (다각형 \(\rm AOBPCQDR\) 넓이) \(:\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)이다.
또는 (원 \(\rm ABCD\) 넓이) \(:\) (다각형 \(\rm AOBPCQDR\) 넓이) \(=\) \(\rm S\) \(:\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)이다. 그러나 (원 \(\rm ABCD\) 넓이) \(>\) (다각형 \(\rm AOBPCQDR\) 넓이)이므로 \(\rm S\) \(>\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)은 \(\rm S\) \(>\) (다각형 \(\rm EKFLGMHN\) 넓이)인 것에 모순이다.
그 안에 있는 일련의 도형에 의한 도형의 근사치는 때때로 "소진 원리"라고 불린다. 이 원리의 중요한 점은 수열의 각 단계에서 원래 도형과 새겨진 도형의 차이가 최소 절반 이상 감소하도록 근사 순서를 만들 수 있다는 것이다.
이 원리는 이 책 이후의 여러 명제에서 사용된다. [XI권 명제 5]는 삼각형 밑변을 가진 같은 높이의 각뿔이 밑변에 비례한다는 것을 보여주기 위해 이것을 사용한다. 각뿔은 닮은 삼각기둥의 결합으로 근사한다. [XI권 명제 10]은 원기둥에 내접한 원뿔이 원기둥의 1/3임을 보여주기 위해 소거 원리를 사용한다. 원뿔은 내접한 각뿔에 의해 근사하고 원기둥은 내접한 각기둥에 의해서 근사한다. 원뿔에 내접한 각뿔은 [XII권 명제 11]과 [XII권 명제 12]에도 비슷하게 사용된다. 마지막으로, [XI권 명제 18]에서는 구의 지름이 세 배로 증가한다는 것을 보여주기 위해 소거 원리를 사용한다. 구에 내접한 다면체로 인해 구로 근접하는 소거법이 사용된다.