증명

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두 원 \(\rm ABC\), \(\rm FGH\)에 각각 내접하는 닮은꼴 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)이 내접하고 있고, 지름이 각각 선분 \(\rm BM\), \(\rm GN\)이라고 하자.

그러면 \(\frac{(\text{한 변의 길이가} \rm\overline{\rm BM}\text{인 정사각형 넓이})}{(\text{한 변의 길이가} \rm\overline{\rm GN}\text{인 정사각형 넓이})}=\frac{(\text{다각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{다각형} \rm FGHKL \text{넓이})}\)임을 보이자.

직선 \(\rm BE\), \(\rm AM\), \(\rm GL\), \(\rm FN\)을 그리자.

두 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)은 닮은꼴이므로 \(\rm\angle BAE=\angle GFL\)이고, \(\frac{\overline{\rm BA}}{\overline{\rm AE}}=\frac{\overline{\rm GF}}{\overline{\rm GL}}\)이다. [VI권 정의 1]

두 삼각형 \(\rm BAE\), \(\rm GFL\)은 \(\rm\angle BAE=\angle GFL\)이고, 두 각 \(\rm BAE\), \(\rm GFL\)을 낀 두 변의 비율이 \(\frac{\overline{\rm BA}}{\overline{\rm AE}}=\frac{\overline{\rm GF}}{\overline{\rm GL}}\)이므로 두 삼각형 \(\rm BAE\), \(\rm GFL\)의 나머지 두 대응하는 각이 \(\rm\angle ABE=\angle FGL\), \(\rm\angle AEB=\angle FLG\)이다. [VI권 명제 6] 그러므로 \(\rm\angle ABE=\angle FGL\)이다.

그런데 같은 호 \(\rm AB\)를 갖는 두 원주각 \(\rm AEB\), \(\rm AMB\)은 \(\rm\angle AEB=\angle AMB\)이다. [III권 명제 27] 같은 논리로, \(\rm\angle FLG=\angle FNG\)이다. 그러므로 \(\rm\angle AMB=\angle FNG\)이다.

그런데 \(\rm\angle BAM=90^\circ=\angle GFN\)이므로 \(\rm\angle BAM=\angle GFN\)이다. [III권 명제 32] 그러므로 남아 있는 나머지 한 각도 같다. 즉, \(\rm\angle ABM=\angle FGN\)이다. [I권 명제 32] 두 삼각형 \(\rm ABM\), \(\rm FGN\)은 대응하는 각이 서로 같다.

그러므로 \(\frac{\overline{\rm BM}}{\overline{\rm GN}}=\frac{\overline{\rm BA}}{\overline{\rm GF}}\)이다. [VI권 명제 4]

\(\frac{(\text{한 변의 길이가} \overline{\rm BM}\text{인 정사각형 넓이})}{(\text{한 변의 길이가} \overline{\rm GN}\text{인 정사각형 넓이})}=\frac{{\overline{\rm BM}}^2}{{\overline{\rm GN}}^2}\)이고,

\(\frac{(\text{다각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{다각형} \rm FGHKL \text{넓이})}=\frac{{\overline{\rm BA}}^2}{{\overline{\rm GF}}^2}\) [VI권 명제 20]

따라서 \(\frac{(\text{다각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{다각형} \rm FGHKL \text{넓이})}=\frac{{\overline{\rm BM}}^2}{{\overline{\rm GN}}^2}\)이다.

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그러므로 원에 내접한 두 닮은꼴 다각형의 넓이 비율은 원의 지름으로 만든 정사각형들의 넓이 비율과 같다.

Q.E.D.