XII 권
명제
두 구의 부피 비율은 지름의 길이의 세제곱 비율과 같다.
두 구 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 지름이 각각 선분 \(\rm BC\), \(\rm EF\)이라고 하면, \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다.
두 구 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 지름이 각각 선분 \(\rm BC\), \(\rm EF\)이라고 하자.
그러면 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)임을 보이자.
\(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}\ne\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이면, \(\left(\text{구}\rm ABC \text{부피}\right)\)는 \(\left(\text{구}\rm ABC \text{부피}\right)> \left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)\) 또는 \(\left(\text{구}\rm ABC \text{부피}\right) < \left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)\)이면서 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이어야 한다.
1) \(\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right) > \left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\)인 경우
\(\left(\text{구}\rm GHK\text{부피} \right) < \left(\text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\)인 \(\left(\text{구}\rm GHK \text{부피} \right)\)가 \(\frac{\left(\text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm GHK\text{부피} \right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이라고 하자.
구 \(\rm DEF\)와 구 \(\rm GHK\)의 중심이 같다고 하자. 큰 구 \(\rm DEF\)에 내접하는 다면체을 내접시키고, 작은 구 \(\rm GHK\) 표면과 교점이 없도록 만들자. [XII권 명제 17]
그리고 구 \(\rm ABC\) 안에 위의 다면체와 닮은 다면체를 내접시키자. 그러면 \(\frac{\left(\text{구}\rm ABC\text{에 내접한 다면체 부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF\text{에 내접한 다면체 부피} \right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다. [XII권 명제 17 따름 명제]
그러나 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다. 그러므로 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left( \text{구}\rm GHK\text{부피} \right)}=\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{에 내접한 다면체 부피} \right)}{\left( \text{구}\rm DEF\text{에 내접한 다면체 부피} \right)}\)이다. 따라서 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left( \text{구}\rm ABC\text{에 내접한 다면체 부피} \right)}=\frac{\left( \text{구}\rm GHK\text{부피} \right)}{\left( \text{구}\rm DEF\text{에 내접한 다면체 부피} \right)}\)이다. [V권 명제 16] 그러나 \(\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)>\left( \text{구}\rm ABC\text{에 내접한 다면체 부피} \right)\)이므로 \(\left( \text{구}\rm GHK\text{부피} \right)>\left( \text{구}\rm DEF\text{에 내접한 다면체 부피} \right)\)이다. 그러나 구 \(\rm GHK\)는 구 \(\rm DEF\)에 내접한 다면체 안에 들어 있기 때문에 \(\left( \text{구}\rm GHK\text{부피}<\left( \text{구}\rm DEF\text{에 내접한 다면체 부피} \right) \right)\)이다. [V권 정의 5]
그러므로 \(\left( \text{구}\rm GHK\text{부피} \right)<\left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\) 인 구 \(\rm GHK\)는 \(\frac{\left(\text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm GHK\text{부피} \right)}\ne\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다.
2) \(\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right) < \left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\)인 경우
\(\frac{\left(\text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF\text{보다 큰 구 부피} \right)}\ne\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)임을 보이자.
\(\left( \text{구}\rm LMN\text{부피} \right) > \left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\)인 구 \(\rm LMN\)에 대하여 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm LMN \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이라고 하자. 그러면 \(\frac{\left( \text{구}\rm LMN\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm ABC \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm EF}}^3}{{\overline{\rm BC}}^3}\)이다.
그런데 \(\left( \text{구}\rm LMN\text{부피} \right) > \left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\)이므로 \(\frac{\left( \text{구}\rm LMN\text{부피} \right)}{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}=\frac{\left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)}{\left( \text{구}\rm ABC\text{보다 작은 구 부피} \right)}\)이다. 이것은 앞에서 증명과 같다. [XII권 명제 2 보조 명제]
그러므로 \(\frac{\left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm ABC \text{보다 작은 구 부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm EF}}^3}{{\overline{\rm BC}}^3}\)이다. 그러나 이것은 거짓임을 증명하였다.
그러므로 \(\left( \text{구}\rm LMN\text{부피} \right) > \left( \text{구}\rm DEF\text{부피} \right)\)인 구 \(\rm DEF\)에 대하여 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm LMN \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다.
1)과 2)에 의해서 \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다.
그러므로 두 구의 부피 비율은 지름의 길이의 세제곱 비율과 같다.
Q.E.D.
이 명제로 유클리드 원론 XII권을 마무리를 한다.
비록 이것은 중요한 명제이지만, 그것은 부피에 대한 연구의 시작에 불과하다. 이 명제의 증명에서 주어진 주장은 어떤 두 개의 닮은 입체도형의 부피 비는 대응하는 선분의 세제곱 비라는 것은 매우 설득력이 있다. 한 가지 어려움은 닮은 입체도형이 무엇인지 정의하는 것이다.
유클리드는 XII권 명제 10에서 원기둥과 같은 밑면과 높이를 가진 원뿔은 (원뿔 부피) \(=\frac13\) (원기둥 부피)이라는 것을 증명했지만, 원기둥에 대한 구의 비율을 찾을 수 없었다
유클리드 이후 같은 시대에 아르키메데스는 구체의 겉넓이에 대한 훨씬 더 어려운 문제뿐만 아니라 이 문제를 풀었다. 그는 구와 원기둥의 비율이 \(4:3\)이라는 것을 증명하였다. 원기둥의 부피는 밑면과 높이에 비례하기 때문에 구, 원기둥, 원뿔의 부피는 원의 넓이로 볼 수 있다. 대수적 용어로, 만약 \(\pi\)가 반지름에 대한 정사각형에 대한 원의 비율을 나타내도록 한다면, 반지름 \(r\)과 높이 \(h\)의 원기둥의 부피는 \(\pi r^2 h\)이고, 내접 원뿔의 부피는 \(\frac13 \pi r^2 h\)이고, 반지름 \(r\)의 구의 부피는 \(\frac43 \pi r^3\)이다