증명

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서로 다른 두 구의 중심을 점 A라 하자.

그러면 작은 구에 표면과 만나지 않고 큰 구에 내접하는 다면체를 만들 수 있음을 보이자.

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구는 반원의 지름을 고정한 다음 반원을 지름을 중심으로 회전시켜서 만들어 진다. [XI권 정의 14] 그러므로 반원이 처음에 어떤 위치에 있든 그 구와 만나지 않거나 접하지 않는 평면과의 교선은 원이다. 중심을 지나는 평면으로 두 구를 자르자. 그러면 두 구와 평면과의 교선인 두 원이다.

그리고 구의 지름이 구와 구의 중심을 지나는 평면과의 교선인 원의 지름이며 구의 지름은 구나 원을 지나는 가장 긴 선분이기 때문에 구와 구의 중심을 지나는 평면과의 교선인 원은 대원이 된다.

평면과 큰 구의 교선인 원을 원 \(\rm BCDE\)라 하고, 작은 구의 교선인 원을 원 \(\rm FGH\)라 하자. 큰 원의 두 지름 \(\rm BD\), \(\rm CE\)를 서로 수직이 되도록 그리자. [I권 명제 11]

그러면 두 원 \(\rm BCDE\), \(\rm FGH\)는 같은 중심 A이므로, 큰 원 \(\rm BCDE\) 내부에 작은 원 \(\rm FGH\)와 교점을 가지지 않으며 변의 개수가 짝수 개인 내접다각형을 작도할 수 있다. [XII권 명제 16]

사분원 \(\rm BE\) 위에 놓인 정다각형의 변이 \(\rm BK\), \(\rm KL\), \(\rm LM\), \(\rm ME\)라 하자. 직선 \(\rm KA\)와 큰 구와의 다른 교점을 \(\rm N\)이라 하고 선분 \(\rm AK\)를 그리자. 점 \(\rm A\)에서 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직인 직선 \(\rm AO\)와 큰 구와 만나는 한 교점을 \(\rm O\)라 하고 선분 \(\rm AO\)를 그리자. [XI권 명제 12]

선분 \(\rm AO\), \(\rm BD\)를 포함하는 평면, 선분 \(\rm AO\), \(\rm KN\)을 포함하는 평면을 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. 평면 \(\alpha\), \(\beta\)와 구의 교선인 대 원을 그리자. 그 이유는 앞에서와 같다.

그러면 선분 \(\rm BD\)는 반원 \(\rm BOD\)의 지름이고, 선분 \(\rm KN\)에 반원 \(\rm KON\)의 지름이다.

선분 \(\rm OA\)는 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직이므로 선분 OA를 포함하는 모든 평면은 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직이다. [XI권 명제 18] 그러므로 두 반원 \(\rm BOD\), \(\rm KON\)은 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직이다.

그리고 반원 \(\rm BED\), \(\rm BOD\), \(\rm KON\)은 모두 크기가 같다. 이들 지름 \(\rm BD\), \(\rm KN\)이 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm KN}\)이기 때문이다. 그러므로 사분원 \(\rm BE\), \(\rm BO\), \(\rm KO\)도 모두 크기가 같다.

그러므로 사분원 BE에 선분 \(\rm BK\), \(\rm KL\), \(\rm LM\), \(\rm ME\)가 내접한 것처럼, 사분원 \(\rm BO\), \(\rm KO\)에도 그와 다각형의 길이가 같은 선분들이 같은 개수만큼 내접하게 된다.

이들 선분들을 내접시키고, 이 선분들을 \(\rm BP\), \(\rm PQ\), \(\rm QR\), \(\rm RO\)와 \(\rm KS\), \(\rm ST\), \(\rm TU\), \(\rm UO\)로 나타내자. 선분 \(\rm SP\), \(\rm TQ\), \(\rm UR\)을 그리자. [IV권 명제 1] 점 \(\rm P\), \(\rm S\)에서 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직이 되도록 각각 직선을 그려라. [XI권 명제 11]

이 직선들은 지름 \(\rm BD\), \(\rm KN\)과 교점을 갖는다. 왜냐 하면 평면 \(\rm BOD\)와 평면 \(\rm KON\)은 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직이기 때문이다. [XI권 정의 4]

이 교점을 \(\rm P\), \(\rm W\)라 하고, 선분 \(\rm PV\), \(\rm SW\)를 그리자. 그리고 선분 \(\rm WV\)를 그리자.

두 반원 \(\rm BOD\), \(\rm KON\) 위에 \(\overline{\rm BP}=\overline{\rm KS}\)인 두 점 \(\rm P\), \(\rm S\)를 각각 잡고, 두 선분 \(\rm BP\), \(\rm KS\)를 그리고 이 선분에 각각 수직인 선분 \(\rm PV\), \(\rm SW\)을 그렸으니 \(\overline{\rm PV}=\overline{\rm SW}\), \(\overline{\rm BV}=\overline{\rm KW}\)이다. [III권 명제 27, I권 명제 26]

그러나 두 반지름 \(\rm BA\), \(\rm KA\)는 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm KA}\)이므로

\(\overline{\rm AB} - \overline{\rm BV} = \overline{\rm AK} - \overline{\rm KW}\)

\(\overline{\rm AV}=\overline{\rm AW}\)

이다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm BV}}{\overline{\rm VA}}=\frac{\overline{\rm KW}}{\overline{\rm WA}}\)이다. 그러므로 두 선분 \(\rm WV\), \(\rm KB\)는 평행하다. [VI권 명제 2]

두 선분 \(\rm PV\), \(\rm SW\)는 모두 원 \(\rm BCDE\)를 포함하는 평면에 수직이다. 그러므로 두 선분 \(\rm PV\), \(\rm SW\)는 평행하다. [XI권 명제 6]

\(\overline{\rm PV}=\overline{\rm SW}\)임을 증명하였다. 그러므로 \(\overline{\rm WV}=\overline{\rm SP}\)이고 평행하다. [I권 명제 33]

두 선분 \(\rm WV\), \(\rm SP\)가 평행하고 두 선분 \(\rm WV\), \(\rm KB\)가 평행하므로 두 선분 \(\rm SP\), \(\rm KB\) 역시 평행하다. [XI권 명제 9]

두 직선이 평행하고 두 직선 위에 각각 임의의 점을 잡아 이를 연결한 직선은 두 직선을 포함하는 평면 위에 있다. [XI권 명제 7] 따라서 두 선분 \(\rm SP\), \(\rm KB\)의 양 끝 점을 이은 선분이 \(\rm BP\), \(\rm KS\)이므로 사각형 \(\rm KBPS\)는 한 평면 위에 있다. 같은 이유로 사각형 SPQT도 한 평면 위에 있고, 사각형 \(\rm TQRU\)도 역시 다른 한 평면 위에 있다.

그런데 삼각형 \(\rm URO\)도 역시 또 다른 한 평면 위에 있다. [XI권 명제 2]

점 \(\rm P\), \(\rm S\), \(\rm Q\), \(\rm T\), \(\rm R\), \(\rm U\)와 점 \(\rm A\)를 각각 연결한 선분 \(\rm AP\), \(\rm AS\), \(\rm AQ\), \(\rm AT\), \(\rm AR\), \(\rm AU\)를 그리자. 그러면 두 호 \(\rm BO\), \(\rm KO\) 사이에 놓이는 다면체를 만들 수 있다. 이 다면체는 밑면이 사각형 \(\rm KBPS\), \(\rm SPQT\), \(\rm TQRU\), 삼각형 \(\rm URO\)이고 꼭짓점이 \(\rm A\)인 각뿔(사각뿔 및 삼각뿔)을 합친 것이다.

각각의 변 \(\rm KL\), \(\rm LM\), \(\rm ME\)에 대하여 변 BK와 마찬가지로 다면체를 만들고 남아 있는 세 사분원에 대해서도 같은 작업을 하자. 이렇게 하면 다면체를 큰 원 안에 내접시킬 수 있다. 이 다면체는 각뿔들을 합친 것들이며, 각뿔들은 앞에서와 같이 사각형 \(\rm KBPS\), \(\rm SPQT\), \(\rm TQRU\) 및 삼각형 \(\rm URO\)에 대응하는 사각형과 삼각형을 밑면으로 하고 꼭짓점을 점 \(\rm A\)로 하는 각뿔들이다.

이렇게 만든 다면체가 원 FGH를 포함하는 구와 만나지 않음을 보여야 한다.

점 \(\rm A\)에서 사각형 \(\rm ABPS\)를 포함하는 평면에 수직인 선분 \(\rm AX\)를 그리자. [XI권 명제 11] 이 선분이 평면과 만나는 점을 \(\rm X\)라 하자. 선분 \(\rm XB\), \(\rm XK\)를 그리자.

어떤 직선이 주어진 평면과 수직으로 만나며 그 직선과 평면과의 교점을 지나는 평면위의 모든 직선은 어떤 직선과 수직이다. [XI권 정의 3] 따라서 선분 \(\rm AX\)는 사각형 \(\rm KBPS\)를 포함하는 평면에 수직이므로 선분 \(\rm AX\)는 두 선분 \(\rm BX\), \(\rm XK\)와 수직이다.

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AK}\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2 = {\overline{\rm AK}}^2\)이다. 그리고 각 \(\angle \rm X =90^{\circ}\)이므로 \({\overline{\rm AX}}^2 + {\overline{\rm XB}}^2 = {\overline{\rm AB}}^2\)이다. [I권 명제 47] 그리고 \({\overline{\rm AX}}^2 + {\overline{\rm XK}}^2 = {\overline{\rm AK}}^2\)이다. [I권 명제 47]

\({\overline{\rm AX}}^2 + {\overline{\rm XB}}^2 - {\overline{\rm AX}}^2 = {\overline{\rm AB}}^2 - {\overline{\rm AX}}^2\)

\({\overline{\rm XB}}^2 = {\overline{\rm AB}}^2 - {\overline{\rm AX}}^2\)

이고,

\({\overline{\rm AX}}^2 + {\overline{\rm XK}}^2 - {\overline{\rm AX}}^2 = {\overline{\rm AK}}^2 - {\overline{\rm AX}}^2\)

\({\overline{\rm XK}}^2 = {\overline{\rm AK}}^2 - {\overline{\rm AX}}^2\)

이다. 따라서 \({\overline{\rm XB}}^2 = {\overline{\rm XK}}^2\) 이므로 \(\overline{\rm XB}=\overline{\rm XK}\)이다.

같은 방법으로 점 \(\rm X\)에서 점 \(\rm P\), \(\rm S\)에 그린 두 선번 \(\rm XP\), \(\rm XS\)에 대해서도 \(\overline{\rm XP}=\overline{\rm XB}\), \(\overline{\rm XS}=\overline{\rm XK}\)임을 보일 수 있다.

그러므로 점 \(\rm X\)를 중심으로 선분 \(\rm XB\) 또는 \(\rm XK\)를 반지름으로 하는 원을 그리면 이 원은 점 \(\rm P\), \(\rm S\)를 지난다. 그러므로 사각형 \(\rm KBPS\)는 원에 내접하는 사각형이다.

선분 \(\rm KB\)는 선분 \(\rm WV\)보다 더 길고 \(\overline{\rm WV}=\overline{\rm SP}\)이므로 \(\overline{\rm KB} > \overline{\rm SP}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm KB}=\overline{\rm KS}=\overline{\rm BP}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm KS} > \overline{\rm SP}\), \(\overline{\rm BP} > \overline{\rm SP}\)이다. 그리고 \(\rm KBPS\)는 원에 내접하는 사각형이므로 \(\overline{\rm KB}=\overline{\rm BP}=\overline{\rm KS}\)이고 \(\overline{\rm KB} > \overline{\rm SP}\), \(\overline{\rm BP} > \overline{\rm SP}\), \(\overline{\rm KS} > \overline{\rm SP}\)이므로 \(\rm BX\)이 원의 반지름이므로 \({\overline{\rm KB}}^2 > 2\cdot {\overline{\rm BX}}^2\)이다.

점 \(\rm K\)에서 선분 \(\rm BV\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm KZ\)를 그리자. [I권 명제 12]

\(\overline{\rm BD} < 2 \overline{\rm DZ}\), \(\frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DZ}}=\frac{\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm BZ}}{\overline{\rm DZ}\cdot\overline{\rm ZB}}\)이므로, 선분 BZ에 한 변이 \(\rm BZ\)인 정사각형을 변 \(\rm BA\) 위에 작도하고, 두 변 \(\rm ZD\), \(\rm BZ\)로 만든 직사각형을 변 \(\rm ZD\) 위에 놓이도록 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm ZB}< 2 \cdot \overline{\rm DZ}\cdot\overline{\rm ZB}\)이다. [I권 명제 46] 선분 \(\rm KD\)를 그리자. \(\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm BZ}={\overline{\rm BK}}^2\)이고, \(\overline{\rm DZ}\cdot\overline{\rm ZB}={\overline{\rm KZ}}^2\)이다. [III권 명제 31, VI권 18 따름 명제] 그러므로 \({\overline{\rm KB}}^2 < 2 \cdot{\overline{\rm KZ}}^2\)이다.

그런데 \({\overline{\rm KB}}^2 > {\overline{\rm BX}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm KZ}}^2 > {\overline{\rm BX}}^2\)이다. \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm KA}\)이므로 \({\overline{\rm BA}}^2 = {\overline{\rm AK}}^2\)이다.

\({\overline{\rm BX}}^2 + {\overline{\rm XA}}^2 = {\overline{\rm BA}}^2\)이고 \({\overline{\rm KZ}}^2 + {\overline{\rm ZA}}^2 = {\overline{\rm KA}}^2\)이다. [I권 명제 47] 그러므로 \({\overline{\rm BX}}^2 + {\overline{\rm XA}}^2 = {\overline{\rm KZ}}^2 + {\overline{\rm ZA}}^2\)이다. 그런데 \({\overline{\rm KZ}}^2 > {\overline{\rm BX}}^2\)이므로 \({\overline{\rm ZA}}^2 < {\overline{\rm XA}}^2\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm AX} > \overline{\rm AZ}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AX} > \overline{\rm AG}\)이다.

선분 \(\rm AX\)는 다면체의 한 면에 수직인 선분이고 선분 \(\rm AG\)는 한 점 \(\rm A\)가 구의 표면 위에 있는 선분이다. 그러므로 이 다면체는 작은 구와 교점을 갖지 않는다.

따라서 같은 중심을 갖는 두 구에, 큰 구에 내접하며 작은 구와 만나지 않는 다각형을 만들었다.

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그러므로 중심이 같은 서로 다른 두 구에 대하여, 작은 구에 표면과 만나지 않고 큰 구에 내접하는 다면체를 만들 수 있다.

Q.E.D.

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증명

두 닮은 꼴 다면체는 같은 개수의 각뿔들로 나눌 수 있으며, 각각의 각뿔들은 서로 닮은꼴이다.

그런데 닮은 각뿔들의 부피 비율은 대응하는 변들의 길이의 세 제곱 비율이다. [XII권 명제 8 따름 명제] 그러므로 사각형 \(\rm KBPS\)가 밑면이고 점 \(\rm A\)가 꼭짓점인 각뿔과 점 \(\rm A\)에 대응하는 다른 구에 내접하는 닮은 각뿔과의 부피 비율은 대응하는 두 변의 길이의 세 제곱 비율이다. 즉, 점 \(\rm A\)를 중심으로 하는 구의 반지름 \(\rm AB\)와 다른 구의 반지름의 세제곱 비율이다.

같은 이유로, 점 \(\rm A\)를 중심인 한 원에 내접한 모든 각뿔들은 다른 원에 내접한 대응하는 닮은 각뿔과의 부피 비율은 반지름 AB와 다른 원의 반지름의 세제곱의 비율이다. [V권 명제 12]

그리고 전자와 후자의 한 비율은 전자들을 모두 더한 것과 후자들을 모두 더한 것의 비율과 같다. 그러므로 점 \(\rm A\)를 중심인 한 구에 내접한 다면체 전체와 다른 구에 내접한 닮은 다면체 전체와의 부피 비율은 반지름 \(\rm AB\)와 다른 원의 반지름 길이의 세제곱 비율이다. 그러므로 지름 \(\rm BD\)와 다른 원 지름의 세제곱 비율과도 같다.

Q.E.D.