Proposition 16 of Book XII

명제 16

동일한 중심을 갖는 크기가 다른 두 원에 대하여, 큰 원 안에 변의 개수가 짝수 개이고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 작은 원과 교점을 갖지 않도록 내접시킬 수 있다.

동일한 중심 $K$ 를 가지며 원 $A B C D$ 가 원 $E F G H$ 보다 큰 두 원 $A B C D$ , $E F G H$ 가 있다. 그러면 원 $E F G H$ 에 교점을 가지지 않으며 짝수개의 변을 갖고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 원 $A B C D$ 에 내접 시킬 수 있다.

증명

동일한 중심 $K$ 를 가지며 원 $A B C D$ 가 원 $E F G H$ 보다 큰 두 원 $A B C D$ , $E F G H$ 가 있다.

그러면 원 $E F G H$ 에 교점을 가지지 않으며 짝수개의 변을 갖고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 원 $A B C D$ 에 내접 시킬 수 있음을 보이자.

중심 $K$ 를 지나는 직선 $B K D$ 을 그려라. 원 $E F G H$ 와 직선 $B K D$ 의 교점이 $E$ , $G$ 이라 하자. 점 $G$ 에서 선분 $B D$ 에 수직인 선분 $A G C$ 를 그려 원 $A B C D$ 에 교점이 $A$ , $C$ 라 하자. [I권 명제 11]

그러면 선분 $A C$ 는 원 $E F G H$ 에 접한다. [III권 명제 16 따름 명제]

호 $B A D$ 를 이등분하고, 그것을 다시 이등분하고, 또 다시 이등분하는 과정을 반복하자. 호 $A D$ 보다 짧은 호가 되도록 하자. [X권 명제 1]

그렇게 남은 호를 호 $L D$ 라 하자.

점 $L$ 을 지나며 선분 $B D$ 에 수직인 직선을 그려 원 $A B C D$ 와 교점을 $N$ 이라하고, 선분 $B D$ 와 교점을 $M$ 이라하자. 선분 $L N$ 을 그리자. 선분 $L D$ , $D N$ 을 그리자. [I권 명제 12]

그러면 $\overset{―}{L D} = \overset{―}{D N}$ 이다. [III권 명제 3, I권 명제 4]

두 선분 $L N$ , $A C$ 는 평행하고 선분 $A C$ 는 원 $E F G H$ 에 접하므로 선분 $L N$ 은 원 $E F G H$ 와의 교점이 없다. 두 선분 $L D$ , $D N$ 은 $L N$ 보다 중심 $K$ 로부터 더 멀리 있으니 원 $E F G H$ 와 교점이 없다.

그러므로 원 $A B C D$ 의 내부에 있는 선분 $L D$ 는 길이가 같은 선분들을 연속적으로 이어서 원 $A B C D$ 에 양 긑 점이 놓이도록 그리면, 이 선분들은 원 $A B C D$ 에 내접하는 정다각형을 작도하고, 변의 개수는 짝수 개이며 작은 원 $E F G H$ 와 교점이 없다.

그러므로 동일한 중심을 갖는 크기가 다른 두 원에 대하여, 큰 원 안에 변의 개수가 짝수 개이고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 작은 원과 교점을 갖지 않도록 내접시킬 수 있다.

부연설명

이 작도의 목적은 중심이 일치하는 두 개의 원을 다각형으로 분리하여 중심이 일치하는 두 개의 구를 분리하는 다음 명제에서 3차원 구조를 만들 수 있도록 하는 것이다.

이 작도는 실제로 변의 수가 8, 16, 32 등 2의 거듭제곱인 다각형이 만들어진다. 다음 명제는 변의 수가 짝수가 아니라 4의 배수가 되는 다각형을 필요로 한다. 알맞게도 이 구조에서 작도된다.

게다가, 다음 명제는 다각형이 내부 원에 닿지 않는 것뿐만 아니라, 다른 꼭짓점을 연결하는 현도 내부 원에 닿지 않는 것을 요구하는데, 이것은 다시 이 작도를 만족시킨다.