증명

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동일한 중심 \(\rm K\)를 가지며 원 \(\rm ABCD\)가 원\(\rm EFGH\) 보다 큰 두 원\(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)가 있다.

그러면 원\(\rm EFGH\)에 교점을 가지지 않으며 짝수개의 변을 갖고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 원\(\rm ABCD\)에 내접 시킬 수 있음을 보이자.

중심 \(\rm K\)를 지나는 직선 \(\rm BKD\)을 그려라. 원 \(\rm EFGH\)와 직선 \(\rm BKD\)의 교점이 \(\rm E\), \(\rm G\)이라 하자. 점 \(\rm G\)에서 선분 \(\rm BD\)에 수직인 선분 \(\rm AGC\)를 그려 원 \(\rm ABCD\)에 교점이 \(\rm A\), \(\rm C\)라 하자. [I권 명제 11]

그러면 선분 \(\rm AC\)는 원 \(\rm EFGH\)에 접한다. [III권 명제 16 따름 명제]

호 \(\rm BAD\)를 이등분하고, 그것을 다시 이등분하고, 또 다시 이등분하는 과정을 반복하자. 호 \(\rm AD\) 보다 짧은 호가 되도록 하자. [X권 명제 1]

그렇게 남은 호를 호 \(\rm LD\)라 하자.

점 \(\rm L\)을 지나며 선분 \(\rm BD\)에 수직인 직선을 그려 원 \(\rm ABCD\)와 교점을 \(\rm N\)이라하고, 선분 \(\rm BD\)와 교점을 \(\rm M\)이라하자. 선분 \(\rm LN\)을 그리자. 선분 \(\rm LD\), \(\rm DN\)을 그리자. [I권 명제 12]

그러면 \(\overline{\rm LD}=\overline{\rm DN}\)이다. [III권 명제 3, I권 명제 4]

두 선분 \(\rm LN\), \(\rm AC\)는 평행하고 선분 \(\rm AC\)는 원 \(\rm EFGH\)에 접하므로 선분 \(\rm LN\)은 원 \(\rm EFGH\)와의 교점이 없다. 두 선분 \(\rm LD\), \(\rm DN\)은 \(\rm LN\) 보다 중심 \(\rm K\)로부터 더 멀리 있으니 원 \(\rm EFGH\)와 교점이 없다.

그러므로 원 \(\rm ABCD\)의 내부에 있는 선분 \(\rm LD\)는 길이가 같은 선분들을 연속적으로 이어서 원 \(\rm ABCD\)에 양 긑 점이 놓이도록 그리면, 이 선분들은 원 \(\rm ABCD\)에 내접하는 정다각형을 작도하고, 변의 개수는 짝수 개이며 작은 원 \(\rm EFGH\)와 교점이 없다.

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그러므로 동일한 중심을 갖는 크기가 다른 두 원에 대하여, 큰 원 안에 변의 개수가 짝수 개이고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 작은 원과 교점을 갖지 않도록 내접시킬 수 있다.