증명

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각각 밑면이 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)인 두 원뿔 \(\rm ABCD-L\), \(\rm EFGH-M\)은 \((\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피}) = (\text{원뿔}\rm EFGH-M \text{부피})\)이다. 두 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)의 지름을 각각 \(\rm AC\), \(\rm EG\)라 하고 중심을 각각 K, N이며 꼭짓점을 각각 \(\rm L\), \(\rm M\)이라하고 높이를 각각 \(\rm KL\), \(\rm NM\)이라 하자. 두 원기둥 \(\rm ABCD-IJOV\), \(\rm EFGH-PRWX\)를 만들자.

그러면 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm NM}}{\overline{\rm KL}}\)임을 보이자.

처음으로, 두 높이 \(\rm LK\), \(\rm MN\)은 \(\overline{\rm LK}=\overline{\rm MN}\)이거나 \(\overline{\rm LK} > \overline{\rm MN}\) 또는 \(\overline{\rm LK} < \overline{\rm MN}\) 중 하나만 성립한다.

1) \(\overline{\rm LK}=\overline{\rm MN}\)이라고 가정하자.

그러면 \((\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})\)이다. 그런데 높이가 같은 두 원뿔이나 두 원기둥은 그 부피의 비율이 밑면 원의 넓이 비율과 같다. [XII권 명제 11] 그러므로 \((\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이}) = (\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})\)이다.

그러므로 상호간에, \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm NM}}{\overline{\rm KL}}\)이다.

2) \(\overline{\rm LK} < \overline{\rm MN}\)이라 가정하자.

\(\overline{\rm KL}=\overline{\rm QN}\)이 되도록 선분 \(\rm MN\) 위에 있는 점 \(\rm Q\)를 잡자. 원기둥 \(\rm EFGH-PRWX\)의 아래 밑면 원 \(\rm EFGH\)와 위 밑면 원 \(\rm PRWX\)에 평행하고 점 \(\rm Q\)를 지나는 평면과 원기둥 \(\rm EFGH-PRWX\)의 교선을 원 \(\rm TUS\)라 하자. 그러면 입체도형 \(\rm EFGH-TUS\)는 밑면이 원 \(\rm EFGH\)이고 높이가 \(\rm NQ\)인 원기둥이다.

그래서 \((\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})\)이다. 따라서 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})}=\frac{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})}\)이다. [V권 명제 7]

\(\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV\)의 \(\text{높이}\rm KL\)과 \(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS\)의 \(\text{높이}\rm NQ\)가 \(\overline{\rm KL}=\overline{\rm NQ}\)이기 때문에 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}=\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}\)이다. [XII권 명제 11] 그리고 원기둥 \(\rm EFGH-PRWX\)의 아래 밑면과 위 밑면과 평행한 평면으로 원기둥 \(\rm EFGH-PRWX\)을 잘랐기 때문에 \(\frac{(\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}=\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm QN}}\)이다. [XII권 명제 13] 그러므로 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH 넓이)}=\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm QN}}\)이다. [V권 명제 11]

그런데 \(\overline{\rm QN}=\overline{\rm KL}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm KL}}\)이다.

그러므로 두 원기둥 \(\rm ABCD-IJOV\), \(\rm EFGH-PRWX\)의 밑면의 넓이는 높이의 역으로 비례한다.

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다음으로 역을 증명하자.

두 원기둥 \(\rm ABCD-IJOV\), \(\rm EFGH-PRWX\)의 밑면의 넓이가 높이의 역으로 비례한다고 가정하자. 즉, \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm KL}}\)이라고 가정하자

그러면 \((\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})\)임을 보이자.

앞에서와 같이 만들자. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm KL}}\)이고 \(\overline{\rm KL}=\overline{\rm QN}\)이므로 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm QN}}\)이다.

\(\overline{\rm KL}=\overline{\rm QN}\)이므로 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 11] 그리고 \(\frac{\overline{\rm MN}}{\overline{\rm QN}}=\frac{(\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 13] 그러므로 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}=\frac{(\text{원기둥}\rm EFGH-PRWX \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})}\)이다. [V권 명제 11]

그러므로 \((\text{원기둥}\rm ABCD-IJOV \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm EFGH-TUS \text{부피})\)이다. [V권 명제 9]

그리고 원뿔에 대해서도 같다. [XII권 명제 10]

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그러므로 부피가 같은 두 원뿔과 두 원기둥은 각각의 밑면 원의 넓이는 높이의 역으로 비례한다. 역으로 두 원뿔과 두 원기둥이 밑면 원 넓이가 높이에 역으로 비례하면 두 도형의 부피는 같다.