XII 권
명제
밑면 원의 넓이가 같은 두 원뿔 부피는 두 원뿔 높이의 비율과 같다. 그리고 밑면 원의 넓이가 같은 두 원기둥의 부피 비율은 두 원기둥 높이 비율과 같다.
밑면이 각각 원 \(\rm ABI\), \(\rm CDP\)인 두 원기둥 \(\rm ABI-EJO\), \(\rm CDP-FST\)에 대하여 원기둥 \(\rm ABI-EJO\)의 아래 밑면 원과 위 밑면 원의 중심이 각각 \(\rm H\), \(\rm G\)이고 원기둥 \(\rm CDP-FST\)의 아래 밑면 원과 위 밑면 원의 중심이 각각 \(\rm L\), \(\rm K\)라 하자. 그러면 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm LK}}\)이다.
밑면이 각각 원 \(\rm ABI\), \(\rm CDP\)인 두 원기둥 \(\rm ABI-EJO\), \(\rm CDP-FST\)에 대하여 원기둥 \(\rm ABI-EJO\)의 아래 밑면 원과 위 밑면 원의 중심이 각각 \(\rm H\), \(\rm G\)이고 원기둥 \(\rm CDP-FST\)의 아래 밑면 원과 위 밑면 원의 중심이 각각 \(\rm L\), \(\rm K\)라 하자.
그러면 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm LK}}\)임을 보이자.
원기둥 \(\rm CDP-FST\)의 축인 반직선 \(\rm KL\) 위에 \(\overline{\rm LN}=\overline{\rm GH}\)인 점 N을 잡자. 높이가 \(\overline{\rm LN}\)이고 밑면이 원 \(\rm CDL\)인 원기둥 \(\rm MQR-CDP\)를 만들자. [I권 명제 3]
그러므로 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm MQR-CDP \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm LN}}\)이다. [XII권 명제 11]
그런데 \(\overline{\rm GH}=\overline{\rm LN}\)이므로 \((\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm MQR-CDP \text{부피})\)이다.
그리고 원기둥 \(\rm MQR-FST\)은 위 밑면과 아래 밑면에 평행한 평면 \(\rm CDP\)에 의해서 잘라졌다고 할 수 있다. 그러므로 \(\frac{(\text{원기둥}\rm MQR-CDP \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{\overline{\rm LN}}{\overline{\rm KL}}\)이다. [XII권 명제 13]
그런데 \((\text{원기둥}\rm MQR-CDP \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})\)이고 \(\overline{\rm LN}=\overline{\rm GH}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm KL}}\)이다.
그리고 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{(\text{원뿔}\rm ABI-G \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm CDP-K \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 10] 그러므로 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm KL}}\) 그리고 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABI-G \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm CDP-K \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm KL}}\)이다. [XII권 명제 10]
그러므로 밑면 원의 넓이가 같은 두 원뿔 부피는 두 원뿔 높이의 비율과 같다. 그리고 밑면 원의 넓이가 같은 두 원기둥의 부피 비율은 두 원기둥 높이 비율과 같다.
[XII권 명제 11]에서 높이가 같은 두 원뿔 비율과 두 원기둥의 비율은 각각의 두 밑면 원에 비례하는 것을 보였으며, 이 명제는 밑면이 같은 두 원뿔 비율과 두 원기둥 비율은 두 도형의 높이에 비례한다는 것을 보였다. 다음 명제는 부피와 높이를 서로 비례하도록 부피를 고정시킴으로써 부피를 밑면과 높이와 다른 방식으로 연관시킨다.