XII 권
명제
원기둥을 원기둥 아래 밑면과 위 밑면에 평행한 평면으로 자르면, 두 개의 원기둥으로 나누어지는데 두 원기둥의 부피 비율은 각각의 원기둥 높이의 비율과 같다.
원기둥 \(\rm ABX-CDY\)를 아래 밑면 \(\rm ABX\)와 위 밑면 \(\rm CDY\)에 평행한 평면 \(\rm GHZ\)로 자르자. 그리고 원 \(\rm ABX\)의 중심 \(\rm K\), 원 \(\rm CDY\)의 중심 \(\rm F\)를 연결한 축 직선 \(\rm KF\)와 평면 \(\rm GHZ\)의 교점을 \(\rm K\)라 하자. 그러면, \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm GHZ-CDY \text{부피})}=\frac{\overline{\rm EK}}{\overline{\rm KF}}\)이다.
원기둥 \(\rm ABX-CDY\)를 아래 밑면 \(\rm ABX\)와 위 밑면 \(\rm CDY\)에 평행한 평면 \(\rm GHZ\)로 자르자. 그리고 원 \(\rm ABX\)의 중심 \(\rm K\), 원 \(\rm CDY\)의 중심 \(\rm F\)를 연결한 축 직선 \(\rm KF\)와 평면 \(\rm GHZ\)의 교점을 \(\rm K\)라 하자.
그러면 그러면, \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm GHZ-CDY \text{부피})}=\frac{\overline{\rm EK}}{\overline{\rm KF}}\)임을 보이자.
축인 직선 \(\rm EF\)를 그리자. \(\overline{\rm EK} = \overline{\rm EN} = \overline{\rm NL}\)이 되도록 반직선 \(\rm FE\) 위의 점 \(\rm N\), \(\rm L\)을 잡고, \(\overline{\rm FK} = \overline{\rm FO} = \overline{\rm OM}\)이 되로록 반직선 \(\rm EF\) 위의 점 \(\rm O\), \(\rm M\)을 잡자. 두 개 이상의 점을 잡아도 상관이 없다. 높이가 \(\rm LM\)이고 밑면이 원 \(\rm PQa\), 원 \(\rm VWb\)인 원기둥 \(\rm PQa-VWb\)를 만들자.
원기둥 \(\rm ABX-CDY\)를 아래 밑면 원 \(\rm ABX\)와 위 밑면 원 \(\rm CDY\)에 평행하고 점 \(\rm N\), \(\rm O\)를 지나는 평면을 작도하자. 이 평면과 원기둥 \(\rm PQa-VWb\)의 교선 점 \(\rm N\), \(\rm O\)를 중심인 두 원 \(\rm RSI\), \(\rm TUJ\)를 작도하자.
그러면 \(\overline{\rm LN}=\overline{\rm NE}=\overline{\rm EK}\)이므로 \(\frac{(\text{원기둥}\rm PQa-RSI \text{부피})}{(\text{밑면 원}\rm PQa \text{넓이})}=\frac{(\text{원기둥}\rm RSI-ABX \text{부피})}{(\text{밑면 원}\rm RSI \text{넓이})}=\frac{(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})}{(\text{밑면 원}\rm ABX \text{넓이})}\)이다. [XII권 명제 11]
그러나 \((\text{밑면 원}\rm PQa \text{넓이}) = (\text{밑면 원}\rm RSI \text{넓이}) = (\text{밑면 원}\rm ABX \text{넓이})\)이므로 \((\text{원기둥}\rm PQa-RSI \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm RSI-ABX \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})\)이다.
\(\overline{\rm LN}=\overline{\rm NE}=\overline{\rm EK}\)이고 \((\text{원기둥}\rm PQa-RSI \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm RSI-ABX \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})\)이어서 \(\overline{\rm KL}=3\overline{\rm EK}\)이고 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) = 3(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})\)이다. 높이와 원기둥이 몇 개이어도 상관이 없다.
같은 이유로, \(\overline{\rm MK}=3\overline{\rm KF}\)이므로 \((\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피}) = 3(\text{원기둥}\rm GHZ-CDY \text{부피})\)이다. 높이와 원기둥이 몇 개이어서 상관이 없다.
\(\overline{\rm KL}=\overline{\rm KM}\)이면 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피})\)이고, \(\rm KL < KM\)이면 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) < (\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피})\)이고, \(\rm KL > KM\)이면 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) > (\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피})\)이다. 두 선분 \(\rm EK\), \(\rm KF\)와 두 원기둥 \(\rm ABX-GHZ\), \(\rm GHZ-CDY\)가 있다. \( \overline{\rm KL}=3\overline{\rm EK}\), \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) = 3(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})\)이며, \(\overline{\rm MK}=3\overline{\rm KF}\)이므로 \((\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피}) = 3(\text{원기둥}\rm GHZ-CDY \text{부피})\)이다. 따라서 \(\overline{\rm KL}= \overline{\rm KM}\)이면 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) = (\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피})\)이고, \(\overline{\rm KL} > \overline{\rm KM}\)이면 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) > (\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피})\)이고, \(\overline{\rm KL} < \overline{\rm KM}\)이면 \((\text{원기둥}\rm PQa-GHZ \text{부피}) < (\text{원기둥}\rm GHZ-VWb \text{부피})\)이다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm EK}}{\overline{\rm KF}}=\frac{(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDY-VWb \text{부피})}\)이다.
그러므로 원기둥을 원기둥 아래 밑면과 위 밑면에 평행한 평면으로 자르면, 두 개의 원기둥으로 나누어지는데 두 원기둥의 부피 비율은 각각의 원기둥 높이의 비율과 같다.
이 명제는 같은 밑면 원을 갖는 두 원기둥 부피는 두 원기둥의 높이에 비례한다는 것을 보여주는 다음 명제를 위한 예비 명제이다. 당연히 다음 명제는 이 명제를 사용한다.