증명

---

두 닮은꼴 원뿔과 두 닮은꼴 원기둥의 밑면이 각각 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)이며, 밑면의 원의 지름이 각각 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)이고, 원뿔과 원기둥의 축 위에 있는 높이가 각각 선분 \(\rm KL\), \(\rm MN\)이라고 하자. (단, 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)의 중심이 각각 \(\rm K\), \(\rm L\)이다.)

그러면 밑면이 원 \(\rm ABCD\)이고 꼭짓점이 \(\rm L\)인 원뿔 \(\rm ABCD-L\)과 밑면이 원 \(\rm EFGH\)이고 꼭짓점이 \(\rm N\)인 원뿔 \(\rm EFGH-N\)은 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)임을 보이자.

\(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이라고 하면, \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\) 또는 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 O에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)일 것이다.

---

1) 첫 번째로, \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 O에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)임을 보이자.

\((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 O에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이라고 하자. 원 \(\rm EFGH\)에 내접한 정사각형 \(\rm EFGH\)를 그리자. [IV권 명제 6] 그러면 \((\text{정사각형}\rm EFGH \text{넓이}) > \frac12 (\text{원}\rm EFGH \text{넓이})\)이다.

밑면이 정사각형 \(\rm EFGH\)이고 꼭짓점이 원뿔 \(\rm EFGH-N\)의 꼭짓점 \(\rm N\)인 사각뿔 \(\rm EFGH-N\)을 작도하자. 그러면 \((\text{사각뿔}\rm EFGH-N \text{부피}) < \frac12 (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)이다. 호 \(\rm EF\), \(\rm FG\), \(\rm GH\), \(\rm HE\)를 이등분한 점을 각각 \(\rm P\), \(\rm Q\), \(\rm R\), \(\rm S\)라 하고 선분 \(\rm EP\), \(\rm PF\), \(\rm FQ\), \(\rm QG\), \(\rm GR\), \(\rm RH\), \(\rm HS\), \(\rm SE\)를 그리자. 그러면 삼각형 \(\rm EPF\), \(\rm FQG\), \(\rm GRH\), \(\rm HSE\)와 활꼴 \(\rm EPF\), \(\rm FQG\), \(\rm GRH\), \(\rm HSE\)에 대하여 \((\text{삼각형}\rm EPF \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm EPF \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm FQG \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm FQG \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm GRH \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm GRH \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm HSE \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm HSE \text{넓이})\)이다.

그리고 밑면이 삼각형 \(\rm EPF\), \(\rm FQG\), \(\rm GRH\), \(\rm HSE\)이고 모두 꼭짓점이 \(\rm N\)인 삼각뿔 \(\rm EPF-N\), \(\rm FQG-N\), \(\rm GRH-N\), \(\rm HSE-N\)을 작도하고, 밑면이 활꼴 \(\rm EPF\), \(\rm FQG\), \(\rm GRH\), \(\rm HSE\)이고 모두 꼭짓점이 \(\rm N\)인 활꼴뿔 \(\rm EPF-N\), \(\rm FQG-N\), \(\rm GRH-N\), \(\rm HSE-N\)을 작도하자.

그러면 \((\text{삼각뿔}\rm EPF-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm EPF-N \text{부피})\), \((\text{삼각뿔}\rm FQG-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm FQG-N \text{부피})\), \((\text{삼각뿔}\rm GRH-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm GRH-N \text{부피})\), \((\text{각뿔}\rm HSE-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm HSE-N \text{부피})\)이다.

그리고 남은 호들을 이등분하고, 이 등분점들의 이웃한 점들을 변들을 그리고 삼각형을 작도한 다음 밑면이 이 삼각형이고 원뿔의 꼭짓점과 같은 꼭짓점으로 삼각뿔과 활꼴뿔을 작도하자. 그리고 이 과정을 계속해서 반복한다. 그러면 \((\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피}) - (\text{모든 삼각뿔의 부피의 합}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피}) - (\text{입체도형}\rm O \text{부피})\)이 되게 작게 나누어진 삼각뿔이 존재한다. [X권 명제 1]

이러한 경우의 남은 선분을 \(\rm EP\), \(\rm PF\), \(\rm FQ\), \(\rm QG\), \(\rm GR\), \(\rm RH\), \(\rm HS\), \(\rm SE\)라 하자. 그러므로 밑면이 다각형 \(\rm EPFQGRHS\)이고 꼭짓점이 \(\rm N\)인 다각뿔 \(\rm EPFQGRHS\)은 \((\text{다각뿔}\rm EPFQGRHS \text{부피}) > (\text{입체도형}\rm O \text{부피})\)이다.

다각형 \(\rm EPFQGRHS\)과 닮은꼴이며 원 \(\rm ABCD\)에 내접한 다각형 \(\rm ATBUCVDW\)를 작도하자. 그리고 밑면이 다각형 \(\rm ATBUCVDW\)이고 꼭짓점이 원뿔 \(\rm ABCD-L\)의 꼭짓점 \(\rm L\)인 다각뿔 \(\rm ATBUCVDW-L\)을 작도하자.

밑면이 다각형 \(\rm ATBUCVDW\)이고 꼭짓점이 \(\rm L\)인 다각뿔 다각형 \(\rm ATBUCVDW-L\)의 옆면은 삼각형이고 이 중 하나인 삼각형 \(\rm LBT\)라 하고, 밑면이 다각형 \(\rm EPFQGRHS\)이고 꼭짓점이 \(\rm N\)인 다각뿔 \(\rm EPFQGRHS-N\)의 옆면도 삼각형인데 그 중 하나를 삼각형 \(\rm NFP\)라 하자. 선분 \(\rm KT\), \(\rm MP\)를 그리자.

두 원뿔 \(\rm ABCD-L\), \(\rm EFGH-N\)이 닮은꼴이므로 \(\frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm FH}}=\frac{\overline{\rm KL}}{\overline{\rm MN}}\)이다. [XI권 정의 24]

\(\frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm FH}}=\frac{\overline{\rm KL}}{\overline{\rm MN}}\)이다. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서, \(\frac{\overline{\rm BK}}{\overline{\rm KL}}=\frac{\overline{\rm FM}}{\overline{\rm MN}}\)이다. [V권 명제 16]

그러므로 인 두 각 \(\rm BKL\), \(\rm FMN\)을 낀 각각의 두 변 \(\rm LB\), \(\rm LK\)와 두 변 \(\rm NF\), \(\rm NM\)도 \(\frac{\overline{\rm LK}}{\overline{\rm LK}}=\frac{\overline{\rm NF}}{\overline{\rm MN}}\)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm BKL\), \(\rm FMN\)은 닮은꼴이다. [VI권 명제 6]

다시 \(\frac{\overline{\rm BK}}{\overline{\rm KT}}=\frac{\overline{\rm FM}}{\overline{\rm MP}}\)이고, 이들 변을 끼고 있는 각각의 각 \(\rm BKT\), 각 \(\rm FMP\)는 이고 이므로 이다. (단, 두 점 \(\rm K\), \(\rm M\)은 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)의 중심이다.) 따라서 두 삼각형이 같은 각을 낀 두 변들이 각각 비례하므로 두 삼각형 \(\rm BKT\), \(\rm FMP\)는 닮음이다. [VI권 명제 6]

다시 \(\frac{\overline{\rm BK}}{\overline{\rm KL}}=\frac{\overline{\rm FM}}{\overline{\rm MN}}\)이고, \(\overline{\rm BL}=\overline{\rm KL}\), \(\overline{\rm FM}=\overline{\rm PM}\)이므로 \(\frac{\overline{\rm TK}}{\overline{\rm KL}}=\frac{\overline{\rm PM}}{\overline{\rm MN}}\)이고 두 각 \(\rm TKL\), \(\rm PMN\)은 으로 같다. 따라서 두 삼각형 \(\rm LKT\), \(\rm NMP\)는 닮은꼴이다. [VI권 명제 6]

그리고 두 삼각형 \(\rm LKB\), \(\rm NMF\)가 닮은꼴이므로 \(\frac{\overline{\rm LB}}{\overline{\rm BK}}=\frac{\overline{\rm NF}}{\overline{\rm FM}}\)이다. 그리고 두 삼각형 BKT, FMP가 닮은꼴이므로 KB / BT = MF / FP이다. [VI권 명제 6]

그러므로 같은 위치에 있는 두 변의 비율이 같아 \(\frac{\overline{\rm LB}}{\overline{\rm BT}}=\frac{\overline{\rm NF}}{\overline{\rm FP}}\)이다. [V권 명제 22]

다시 두 삼각형 \(\rm LTK\), \(\rm NPM\)이 닮음이므로 \(\frac{\overline{\rm LT}}{\overline{\rm TK}}=\frac{\overline{\rm NP}}{\overline{\rm PM}}\)이다. 그리고 두 삼각형 \(\rm TKB\), \(\rm PMF\)가 닮음꼴이므로 \(\frac{\overline{\rm KT}}{\overline{\rm TB}}=\frac{\overline{\rm MP}}{\overline{\rm PF}}\)이다. [VI권 명제 6]

그러므로 같은 위치에 있는 두 변의 비율이 같아 \(\frac{\overline{\rm LT}}{\overline{\rm TB}}=\frac{\overline{\rm NP}}{\overline{\rm FP}}\)이다. [V권 명제 22]

그러나 역시 \(\frac{\overline{\rm TB}}{\overline{\rm BL}}=\frac{\overline{\rm PF}}{\overline{\rm FN}}\)임을 증명하였다. 그러므로 같은 위치에 있는 두 변의 비율이 같아 \(\frac{\overline{\rm TL}}{\overline{\rm LB}}=\frac{\overline{\rm PN}}{\overline{\rm NF}}\)이다. [V권 명제 22]

그러므로 두 삼각형 \(\rm LTB\), \(\rm NPF\)가 대응하는 변끼리 비례한다. 따라서 삼각형 \(\rm LTB\), \(\rm NPF\)는 등각삼각형이고 역시 닮은꼴이다. [VI권 명제 6, VI권 정의 1]

밑면이 삼각형 \(\rm BKT\)이고 꼭짓점이 \(\rm L\)인 삼각뿔 \(\rm BKT-L\)과 밑면이 삼각형 \(\rm FMP\)이고 꼭짓점이 \(\rm N\)인 삼각뿔 \(\rm FMP-N\)은 같은 개수의 닮은꼴 도형을 둘러싸여 있다. 따라서 두 삼각뿔 \(\rm BKT-L\), \(\rm FMP-N\)은 닮은꼴이다. [XI권 정의 9]

그러나 밑면이 삼각형인 닮은꼴 삼각뿔의 부피 비율은 대응하는 변의 길이의 세제곱 비율과 같다. [XI권 명제 8]

그러므로 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm BKT-L \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm FMP-N \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BK}}^3}{{\overline{\rm FM}}^3}\)이다.

같은 방법으로 점 \(\rm K\)에서 점 \(\rm A\), \(\rm W\), \(\rm D\), \(\rm V\), \(\rm C\), \(\rm U\)으로 선분 \(\rm KA\), \(\rm KW\), \(\rm KD\), \(\rm KV\), \(\rm KC\), \(\rm KU\)를 그리고, 점 \(\rm M\)에서 점 \(\rm E\), \(\rm S\), \(\rm H\), \(\rm R\), \(\rm G\), \(\rm Q\)로 선분 \(\rm ME\), \(\rm MS\), \(\rm MH\), \(\rm MR\), \(\rm MG\), \(\rm MQ\)를 그리자. 이 때 작도된 삼각형들을 밑면으로 하고 꼭짓점이 원뿔의 꼭짓점으로 한 삼각뿔을 작도하면 대응하는 삼각뿔들의 부피의 비율은 \(\frac{{\overline{\rm BK}}^3}{{\overline{\rm FM}}^3}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)임을 보일 수 있다.

원뿔 \(\rm ABCD-L\) 내부에 있는 하나의 삼각뿔과 원뿔 \(\rm EFGH-N\) 내부에 있는 하나의 삼각뿔과의 부피 비율은 원뿔 \(\rm ABCD-L\) 내부에 있는 모든 삼각뿔과 원뿔 \(\rm EFGH-N\) 내부에 있는 모든 삼각뿔의 부피의 비율과 같다. [V권 명제 12] 그러므로 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm BKT-L \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm BKT-L \text{부피})}=\frac{(\text{원뿔}\rm ATBUCVDW-L\text{에 포함된 모든 삼각뿔 부피})}{(\text{원뿔}\rm EPFQGRHS-N\text{에 포함된 모든 삼각뿔 부피})}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{다각뿔}\rm ATBUCVDW-L \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm EPFQGRHS-N \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이다.

그런데 가정에 의해서 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{(\text{다각뿔}\rm ATBUCVDW-L \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm EPFQGRHS-N \text{부피})}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm ATBUCVDW-L \text{부피})}=\frac{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm EPFQGRHS-N \text{부피})}\)이다.

그런데 원뿔 \(\rm ABCD-L\)은 다각뿔 \(\rm ATBUCVDW-L\)을 포함하고 있으니 \((\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피}) > (\text{다각뿔}\rm ATBUCVDW-L \text{부피})\)이다. 그러므로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{다각뿔}\rm EPFQGRHS-N \text{부피})\)이다. 그런데 가정에 의해서 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{다각뿔}\rm EPFQGRHS-N \text{부피})\)이라 가정하였으므로 모순이다. 따라서 이러한 경우는 불가능하다.

그러므로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 \(\rm O\)에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이다.

두 번째, 같은 방법으로 원뿔 \(\rm EFGH-N\)도 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})\)인 입체도형 \(\rm O\)에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{{\overline{\rm FH}}^3}{{\overline{\rm BD}}^3}\)임을 보일 수 있다.

---

2) 그 다음으로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 O에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)임을 보이자.

\((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 \(\rm O\)에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이 가능하다고 하자.

그러면 역 비율로 \(\frac{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm FH}}^3}{{\overline{\rm BD}}^3}\)이다. 그런데 \(\frac{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}=\frac{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{보다 작은 입체도형 부피})}\)이다

그러므로 \(\frac{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{보다 작은 입체도형 부피})}=\frac{{\overline{\rm FH}}^3}{{\overline{\rm BD}}^3}\)이다. 그러나 이것은 불가능하다.

그러므로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 O에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)은 불가능하다.

따라서 1) \((\text{체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\) 입체도형 \(\rm O\)에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)과 2) \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 \(\rm O\)에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}3}\)임을 보였다. 그러므로 밑면이 원 \(\rm ABCD\)이고 꼭짓점이 \(\rm L\)인 원뿔 \(\rm ABCD-L\)과 밑면이 원 \(\rm EFGH\)이고 꼭짓점이 \(\rm N\)인 원뿔 \(\rm EFGH-N\)은 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이다.

또한 밑면이 같고 높이가 같은 원기둥과 원뿔은 \((\text{원기둥 부피}) =3 (\text{원뿔 부피})\)이므로 두 원기둥의 부피 비율은 두 원뿔의 부피 비율과 같다. [XII권 명제 10] \(\frac{(\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{이고 높이가}\rm KL\text{인 원기둥 부피})}{(\text{밑면이 원}\rm EFGH\text{이고 높이가}\rm MN\text{인 원기둥 부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이다.

---

그러므로 두 닮은꼴 원뿔 또는 두 닮은꼴 원기둥의 부피 비율은 밑면 지름의 세제곱의 비율과 같다.