증명

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높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 밑면이 각각 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$, 원 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$이며, 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$, 원 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$의 중심이 각각 점 $\mathrm{K}$, $\mathrm{M}$이고 지름이 각각 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$, $\mathrm{E}\mathrm{G}$이다. 밑면이 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$이고 높이 $\mathrm{K}\mathrm{L}$인 원뿔을 원뿔 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}$, 밑면이 원 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$이고 높이가 $\mathrm{M}\mathrm{N}$인 원뿔을 원뿔 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}$이라고 하자.

그러면 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})}$임을 보이자.

$\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}\ne \frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})}$이라고 하자. 그러면 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}$과 같은 비율이기 위해서는 $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})<(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})$이거나 $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})>(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})$인 $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})$를 구하여야 한다.

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1) 첫 번째로, $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})<(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})$이면서 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}$가 성립한다고 하자. 그리고 $(\text{입체도형}\mathrm{X}\text{부피})=(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})-(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})$이라고 하자. 그러면 $(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})=(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})+(\text{입체도형}\mathrm{X}\text{부피})$이다.

원 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$에 내접한 정사각형 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$를 작도하자. 그러면 $(\text{정사각형}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})<\frac{1}{2}(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})$이다. [IV권 명제 6]

밑면이 정사각형 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$이고 원뿔과 높이가 같은 각뿔 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{L}$을 작도하자. 원에 외접하도록 정사각형을 작도한 다음 작도한 정사각형을 밑면으로 하고 원뿔과 높이가 같도록 각뿔을 작도하면, $(\text{원에 내접하는 각뿔의 부피})=\frac{1}{2}(\text{원에 외접하는각뿔의 부피})$이다. $\frac{(\text{내접하는 각뿔의 부피})}{(\text{외접하는 각뿔의 부피})}=\frac{(\text{원에 내접하는 다각형넓이})}{(\text{원에 외접하는 다각형 넓이})}$이다[XII권 명제 6]. 그런데 $(\text{원뿔의 부피})<(\text{밑면이 원에 외접하는다각형이고 원뿔과 높이가 같은 각뿔의 부피})$이므로 $(\text{정사각뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})>\frac{1}{2}(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})$이 성립한다.

호 $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{F}\mathrm{G}$, $\mathrm{G}\mathrm{H}$, $\mathrm{H}\mathrm{E}$의 중점을 각각 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하고 선분 $\mathrm{H}\mathrm{P}$, $\mathrm{P}\mathrm{E}$, $\mathrm{E}\mathrm{Q}$, $\mathrm{Q}\mathrm{F}$, $\mathrm{F}\mathrm{R}$, $\mathrm{R}\mathrm{G}$, $\mathrm{G}\mathrm{S}$, $\mathrm{S}\mathrm{H}$를 그리자.

그러면 $(\text{삼각형}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\text{넓이})>\frac{1}{2}(\text{활꼴}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\text{넓이})$, $(\text{삼각형}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\text{넓이})\frac{1}{2}(\text{활꼴}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\text{넓이})$, $(\text{삼각형}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\text{넓이})>\frac{1}{2}(\text{활꼴}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\text{넓이})$, $(\text{삼각형}\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{H}\text{넓이})>\frac{1}{2}(\text{활꼴}\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{H}\text{넓이})$이다.

밑면이 삼각형 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}$이고 원뿔 높이와 같은 삼각뿔 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}-\mathrm{N}$과 밑면이 활꼴 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}$이고 원뿔 높이가 같은 활꼴뿔 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}-\mathrm{N}$을 작도하자. 그러면 $(\text{삼각뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}-\mathrm{N}\text{부피})>\frac{1}{2}(\text{활꼴뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}-\mathrm{N}\text{부피})$이다. 나머지 삼각형과 활꼴에 대하여 원뿔과 같은 높이의 삼각뿔과 활꼴뿔을 작도하자. 그러면 $(\text{삼각뿔}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}-\mathrm{N}\text{부피})>\frac{1}{2}(\text{활꼴뿔}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}-\mathrm{N}\text{부피})$, $(\text{삼각뿔}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}-\mathrm{N}\text{부피})>\frac{1}{2}(\text{활꼴뿔}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}-\mathrm{N}\text{부피})$, $(\text{삼각뿔}\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})>\frac{1}{2}(\text{활꼴뿔}\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})$이다.

남은 호들을 이등분하고 점들을 선분으로 연결하여 삼각형을 만들고 이들 삼각형들을 밑변으로 하고 원뿔과 높이가 같은 삼각기둥을 작도하여라. 그리고 이 과정을 계속해서 하여라. 그러면 $(\text{원뿔 부피})-(\text{모든 삼각뿔들 부피})<(\text{입체도형}\mathrm{X}\text{부피})$이다. [X권 명제 1]

이런 경우의 남은 선분이 $\mathrm{H}\mathrm{P}$, $\mathrm{P}\mathrm{E}$, $\mathrm{E}\mathrm{Q}$, $\mathrm{Q}\mathrm{F}$, $\mathrm{F}\mathrm{T}$, $\mathrm{R}\mathrm{G}$, $\mathrm{G}\mathrm{S}$, $\mathrm{S}\mathrm{H}$라 하자. 그러므로 밑변이 다각형 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}$이고 원뿔 높이와 같은 다각뿔 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}$은 $(\text{다각뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}-\mathrm{N}\text{부피})>(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})$이다. ---- (*)

다각형 $\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}$와 닮은꼴이며 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$에 내접한 다각형 $\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$를 작도하자. 그리고 밑면이 다각형 $\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}$이고 원뿔 높이와 같은 다각뿔 $\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}-\mathrm{L}$을 작도하자.

$\frac{(\text{정사각형}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{정사각형}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{다각형}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}\text{넓이})}{(\text{다각형}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}\text{넓이})}$이다. [XII권 명제 1] 그리고 $\frac{(\text{정사각형}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{정사각형}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}$이다. [XII권 명제 2] 그러므로 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{다각형}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}\text{넓이})}{(\text{다각형}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}\text{넓이})}$이다.

그런데 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{넓이})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}$이다. 그리고 $\frac{(\text{다각형}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}\text{넓이})}{(\text{다각형}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}\text{넓이})}=\frac{(\text{다각뿔}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{다각뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}-\mathrm{N}\text{부피})}$이다. [XII권 명제 6]

그러므로 $\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}=\frac{(\text{다각뿔}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{다각뿔}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}-\mathrm{L}\text{부피})}$이다. [V권 명제 11] 그러므로 바꾼 비례식에 따라서 $\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{다각뿔}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}-\mathrm{L}\text{부피})}=\frac{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}{(\text{다각뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}-\mathrm{N}\text{부피})}$이다. [V권 명제 16]

그러므로 $(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})>(\text{다각뿔}\mathrm{D}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{B}\mathrm{V}\mathrm{C}\mathrm{W}-\mathrm{L}\text{부피})$이다. 그러므로 $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})>(\text{다각뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}-\mathrm{N}\text{부피})$이다.

그러나 $(\text{체도형}\mathrm{O}\text{부피})<(\text{다각뿔}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{Q}\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{G}\mathrm{S}-\mathrm{N}\text{부피})$(*)이라고 하였으니 모순이다.

그러므로 $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})<(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})$인 입체도형 $\mathrm{O}$는 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}\ne \frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}$일 수 밖에 없다

같은 방법으로 원뿔 $rmEFGH-N$은 $(\text{입체도형}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})$ 보다 작은 입체도형과의 비율은 \(\frac{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}와 같을 수 없음을 보일 수 있다.

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2) 두 번째, $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})>(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{부피})$인 입체도형 O에 대하여 $\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}\ne \frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}$임을 보이자.

만약 $\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}=\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}$이라고 하자. 그러면 그 역 비례식에 의해서 $\frac{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}=\frac{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}$이다.

그런데 $\frac{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}=\frac{(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{부피})}{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{보다 작은 입체도형 부피})}$이다. 그러므로 $\frac{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}-\mathrm{N}\text{부피})}{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{보다 작은입체도형 부피})}$이다. 이 경우에는 불가능하다는 것을 증명하였다.

그러므로 $(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})>(\text{원뿔}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{부피})$인 입체도형 $\mathrm{O}$에 대하여 $\frac{(\text{원뿔}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{L}\text{부피})}{(\text{입체도형}\mathrm{O}\text{부피})}\ne \frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}$이다.

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부피가 작은 경우 1)과 부피가 큰 2)에 의해서, $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{밑면이 원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{이고 높이}\mathrm{K}\mathrm{L}\text{인 원뿔 부피})}{(\text{밑면이 원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{이고높이가}\mathrm{M}\mathrm{N}\text{인 원뿔 부피})}$이다.

$(\text{원기둥 부피})=3(\text{원기둥 부피})$이므로 두 원기둥 부피 비율은 각각의 원기둥에 포함된 원뿔의 부피 비율과 같다. [XII권 명제 10]

그러므로 $\frac{(\text{원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{넓이})}{(\text{원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{넓이})}=\frac{(\text{밑면이 원}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\text{이고높이가}\mathrm{K}\mathrm{L}\text{인 원기둥 부피})}{(\text{밑면이 원}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}\text{이고 높이가}\mathrm{M}\mathrm{N}\text{인 원기둥 부피})}$이다.

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그러므로 높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.