증명

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높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 밑면이 각각 원 \(\rm ABCD\), 원 \(\rm EFGH\)이며, 원 \(\rm ABCD\), 원 \(\rm EFGH\)의 중심이 각각 점 \(\rm K\), \(\rm M\)이고 지름이 각각 선분 \(\rm AC\), \(\rm EG\)이다. 밑면이 원 \(\rm ABCD\)이고 높이 \(\rm KL\)인 원뿔을 원뿔 \(\rm ABCD-L\), 밑면이 원 \(\rm EFGH\)이고 높이가 \(\rm MN\)인 원뿔을 원뿔 \(\rm EFGH-N\)이라고 하자.

그러면 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}\)임을 보이자.

\(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\ne\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}\)이라고 하자. 그러면 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\)과 같은 비율이기 위해서는 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)이거나 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피})\)를 구하여야 한다.

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1) 첫 번째로, \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)이면서 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\)가 성립한다고 하자. 그리고 \((\text{입체도형}\rm X \text{부피}) = (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피}) - (\text{입체도형}\rm O \text{부피})\)이라고 하자. 그러면 \((\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피}) = (\text{입체도형}\rm O \text{부피}) + (\text{입체도형}\rm X \text{부피})\)이다.

원 \(\rm EFGH\)에 내접한 정사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. 그러면 \((\text{정사각형}\rm EFGH \text{넓이}) < \frac12 (\text{원}\rm EFGH \text{넓이})\)이다. [IV권 명제 6]

밑면이 정사각형 \(\rm EFGH\)이고 원뿔과 높이가 같은 각뿔 \(\rm EFGH-L\)을 작도하자. 원에 외접하도록 정사각형을 작도한 다음 작도한 정사각형을 밑면으로 하고 원뿔과 높이가 같도록 각뿔을 작도하면, \((\text{원에 내접하는 각뿔의 부피}) = \frac12 (\text{원에 외접하는 각뿔의 부피})\)이다. \(\frac{(\text{내접하는 각뿔의 부피})}{(\text{외접하는 각뿔의 부피})}=\frac{(\text{원에 내접하는 다각형 넓이})}{(\text{원에 외접하는 다각형 넓이})}\)이다[XII권 명제 6]. 그런데 \((\text{원뿔의 부피}) < (\text{밑면이 원에 외접하는 다각형이고 원뿔과 높이가 같은 각뿔의 부피})\)이므로 \((\text{정사각뿔}\rm EFGH-N \text{부피}) > \frac12 (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)이 성립한다.

호 \(\rm EF\), \(\rm FG\), \(\rm GH\), \(\rm HE\)의 중점을 각각 점 \(\rm P\), \(\rm Q\), \(\rm R\), \(\rm S\)라 하고 선분 \(\rm HP\), \(\rm PE\), \(\rm EQ\), \(\rm QF\), \(\rm FR\), \(\rm RG\), \(\rm GS\), \(\rm SH\)를 그리자.

그러면 \((\text{삼각형}\rm HPE \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm HPE \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm EQF \text{넓이}) \frac12 (\text{활꼴}\rm EQF \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm FRG \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm FRG \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm GSH \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm GSH \text{넓이})\)이다.

밑면이 삼각형 \(\rm HPE\)이고 원뿔 높이와 같은 삼각뿔 \(\rm HPE-N\)과 밑면이 활꼴 \(\rm HPE\)이고 원뿔 높이가 같은 활꼴뿔 \(\rm HPE-N\)을 작도하자. 그러면 \((\text{삼각뿔}\rm HPE-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm HPE-N \text{부피})\)이다. 나머지 삼각형과 활꼴에 대하여 원뿔과 같은 높이의 삼각뿔과 활꼴뿔을 작도하자. 그러면 \((\text{삼각뿔}\rm EQF-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm EQF-N \text{부피})\), \((\text{삼각뿔}\rm FRG-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm FRG-N \text{부피})\), \((\text{삼각뿔}\rm GSH-N \text{부피}) > \frac12 (\text{활꼴뿔}\rm GSH-N \text{부피})\)이다.

남은 호들을 이등분하고 점들을 선분으로 연결하여 삼각형을 만들고 이들 삼각형들을 밑변으로 하고 원뿔과 높이가 같은 삼각기둥을 작도하여라. 그리고 이 과정을 계속해서 하여라. 그러면 \((\text{원뿔 부피}) - (\text{모든 삼각뿔들 부피}) < (\text{입체도형}\rm X \text{부피})\)이다. [X권 명제 1]

이런 경우의 남은 선분이 \(\rm HP\), \(\rm PE\), \(\rm EQ\), \(\rm QF\), \(\rm FT\), \(\rm RG\), \(\rm GS\), \(\rm SH\)라 하자. 그러므로 밑변이 다각형 \(\rm HPEQFRGS\)이고 원뿔 높이와 같은 다각뿔 \(\rm HPEQFRGS\)은 \((\text{다각뿔}\rm HPEQFRGS-N \text{부피}) > (\text{입체도형}\rm O \text{부피})\)이다. ---- (*)

다각형 \(\rm HPEQFRGS\)와 닮은꼴이며 원 \(\rm ABCD\)에 내접한 다각형 \(\rm DTAUBVCW\)를 작도하자. 그리고 밑면이 다각형 \(\rm DTAUBVCW\)이고 원뿔 높이와 같은 다각뿔 \(\rm DTAUBVCW-L\)을 작도하자.

\(\frac{(\text{정사각형}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{정사각형}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{다각형}\rm DTAUBVCW \text{넓이})}{(\text{다각형}\rm HPEQFRGS \text{넓이})}\)이다. [XII권 명제 1] 그리고 \(\frac{(\text{정사각형}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{정사각형}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\)이다. [XII권 명제 2] 그러므로 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{다각형}\rm DTAUBVCW \text{넓이})}{(\text{다각형}\rm HPEQFRGS \text{넓이})}\)이다.

그런데 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{넓이})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\)이다. 그리고 \(\frac{(\text{다각형}\rm DTAUBVCW \text{넓이})}{(\text{다각형}\rm HPEQFRGS \text{넓이})}=\frac{(\text{다각뿔}\rm DTAUBVCW-L \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm HPEQFRGS-N \text{부피})}\)이다. [XII권 명제 6]

그러므로 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{(\text{다각뿔}\rm DTAUBVCW-L \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm DTAUBVCW-L \text{부피})}\)이다. [V권 명제 11] 그러므로 바꾼 비례식에 따라서 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm DTAUBVCW-L \text{부피})}=\frac{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}{(\text{다각뿔}\rm HPEQFRGS-N \text{부피})}\)이다. [V권 명제 16]

그러므로 \((\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피}) > (\text{다각뿔}\rm DTAUBVCW-L \text{부피})\)이다. 그러므로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{다각뿔}\rm HPEQFRGS-N \text{부피})\)이다.

그러나 \((\text{체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{다각뿔}\rm HPEQFRGS-N \text{부피})\)(*)이라고 하였으니 모순이다.

그러므로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) < (\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})\)인 입체도형 \(\rm O\)는 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\ne\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\)일 수 밖에 없다

같은 방법으로 원뿔 \(rm EFGH-N\)은 \((\text{입체도형}\rm ABCD-L \text{부피})\) 보다 작은 입체도형과의 비율은 \(\frac{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}와 같을 수 없음을 보일 수 있다.

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2) 두 번째, \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH \text{부피})\)인 입체도형 O에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\)임을 보이자.

만약 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}=\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\)이라고 하자. 그러면 그 역 비례식에 의해서 \(\frac{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}=\frac{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}\)이다.

그런데 \(\frac{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}=\frac{(\text{원뿔}\rm EFGH \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{보다 작은 입체도형 부피})}\)이다. 그러므로 \(\frac{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}=\frac{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{보다 작은 입체도형 부피})}\)이다. 이 경우에는 불가능하다는 것을 증명하였다.

그러므로 \((\text{입체도형}\rm O \text{부피}) > (\text{원뿔}\rm EFGH \text{부피})\)인 입체도형 \(\rm O\)에 대하여 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{입체도형}\rm O \text{부피})}\ne\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}\)이다.

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부피가 작은 경우 1)과 부피가 큰 2)에 의해서, \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{이고 높이}\rm KL\text{인 원뿔 부피})}{(\text{밑면이 원}\rm EFGH\text{이고 높이가}\rm MN\text{인 원뿔 부피})}\)이다.

\((\text{원기둥 부피}) = 3(\text{원기둥 부피})\)이므로 두 원기둥 부피 비율은 각각의 원기둥에 포함된 원뿔의 부피 비율과 같다. [XII권 명제 10]

그러므로 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{이고 높이가}\rm KL\text{인 원기둥 부피})}{(\text{밑면이 원}\rm EFGH\text{이고 높이가}\rm MN\text{인 원기둥 부피})}\)이다.

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그러므로 높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.