XII 권
명제
높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.
높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 밑면이 각각 원
높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 밑면이 각각 원
그러면
1) 첫 번째로,
원
밑면이 정사각형
호
그러면
밑면이 삼각형
남은 호들을 이등분하고 점들을 선분으로 연결하여 삼각형을 만들고 이들 삼각형들을 밑변으로 하고 원뿔과 높이가 같은 삼각기둥을
작도하여라. 그리고 이 과정을 계속해서 하여라. 그러면
이런 경우의 남은 선분이
다각형
그런데
그러므로
그러므로
그러나
그러므로
같은 방법으로 원뿔
2) 두 번째,
만약
그런데
그러므로
부피가 작은 경우 1)과 부피가 큰 2)에 의해서,
그러므로
그러므로 높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.
이 명제는 높이가 같고 밑면이 같은 두 원기둥에 대하여 같은 질문을 하는 [XII권 명제 13]과 [XII권 명제 14]에서 사용되고 다른 높이에 대한 질문의 [XII권 명제 15]에서 사용된다.