증명

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원뿔과 원기둥의 밑면은 원 \(\rm ABCD\)으로 같고 높이가 같다.

그러면 \(\text{(원뿔 부피)} = \frac13 \text{(원기둥 부피)}\) 즉, \(\text{(원기둥 부피)} = 3 \text{(원뿔 부피)}\)임을 보이자.

\(\text{(원기둥 부피)}\ne 3 \text{(원뿔 부피)}\)이라고 하면 \(\text{(원기둥 부피)} > 3 \text{(원뿔 부피)}\) 또는 \(\text{(원기둥 부피)} < 3 \text{(원뿔 부피)}\)이다.

1) \(\text{(원기둥 부피)} > 3 \text{(원뿔 부피)}\)이라고 하자.

원 \(\rm ABCD\) 안에 정사각형 \(\rm ABCD\)를 내접시키자. [IV권 명제 6] 그러면 \(\text{(정사각형}\rm ABCD \text{넓이)} > \frac12 \text{(원}\rm ABCD \text{넓이)}\)이다. 밑면이 원 \(\rm ABCD\)인 원기둥과 밑면이 정사각형 \(\rm ABCD\)인 정사각기둥을 작도하자.

그러면 원 \(\rm ABCD\)에 외접하도록 정사각형을 작도하면 [IV권 명제 7] \((\text{원}\rm ABCD \text{내접 정사각형 넓이}) = \frac12 (\text{원}\rm ABCD \text{외접 정사각형 넓이})\)이며, 이 두 정사각형을 밑면으로 하는 높이가 같은 정사각기둥을 작도하자. 그러면 \((\text{밑면이 원}\rm ABCD \text{내접 정사각형인 정사각기둥 높이}) = (\text{밑면이 원}\rm ABCD \text{외접 정사각형인 정사각기둥 높이})\)이므로 \(\frac{(\text{밑면이 원}\rm ABCD \text{내접 정사각형인 정사각기둥 부피})}{(\text{밑면이 원}\rm ABCD \text{외접 정사각형인 정사각기둥 부피})}=\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{내접 정사각형 넓이})}{(\text{원}\rm ABCD \text{외접 정사각형 넓이})}\)이다. [XI권 명제 32] 그러므로 \((\text{밑면이 원}\rm ABCD \text{내접 정사각형인 정사각기둥 부피}) = \frac12 (\text{밑면이 원}\rm ABCD \text{외접 정사각형인 정사각기둥 부피})\)이다. [XI권 명제 28, XII권 명제 6, XII권 명제 7 따름 명제] 그리고 \((\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{인 원기둥 부피}) < (\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{에 외접한 정사각형인 정사각기둥 부피})\)이다. 그러므로 \((\text{정사각기둥 부피}) > \frac12 (\text{원기둥 부피})\)이다.

호 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DA\)를 이등분한 점을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)이라고 하자. 선분 \(\rm AE\), \(\rm EB\), \(\rm BF\), \(\rm FC\), \(\rm CG\), \(\rm GD\), \(\rm DH\), \(\rm HA\)를 그리자. 그러면 삼각형 \(\rm AEB\), \(\rm BFC\), \(\rm CGD\), \(\rm DHA\)와 각각의 원 \(\rm ABCD\)의 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm BFC\), \(\rm CGD\), \(\rm DHA\)에 대하여 \((\text{삼각형}\rm AEB \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm AEB \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm BFC \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm BFC \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm CGD \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm CGD \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm DHA \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm DHA \text{넓이})\)이다. [XII권 명제 2]

밑면이 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm BFC\), \(\rm CGD\), \(\rm DHA\)이고 원기둥과 높이와 같은 삼각기둥을 작도하여라. 점 \(\rm E\)에서 선분 \(\rm AB\)에 평행한 직선과 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm AC\)의 교점과 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)를 꼭짓점으로 하는 평행사변형을 작도하자. 그러면 그 평행사변형을 밑면으로 하고 원기둥 높이와 같도록 사각기둥을 작도하자. 그러면 \((\text{밑면이 삼각형 AEB인 삼각기둥 부피}) = \frac12 (\text{밑면이 평행사변형인 사각기둥 부피})\)이다. 그리고 \((\text{활꼴}\rm AEB \text{기둥 부피}) < (\text{밑면이 평행사변형인 사각기둥 부피})\)이다. 따라서 \((\text{밑면이 삼각형 AEB인 삼각기둥 부피}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm AEB \text{기둥 부피})\)이다. 같은 방법으로 점 \(\rm F\)와 선분 \(\rm BC\), 점 \(\rm G\)와 선분 \(\rm CD\), 점 \(\rm H\)와 선분 \(\rm DA\)에 대하여 적용하면, \((\text{밑면이 삼각형}\rm BFC\text{인 삼각기둥 부피}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm BFC \text{기둥 부피})\), \((\text{밑면이 삼각형}\rm CGD\text{인 삼각기둥 부피}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm CGD \text{기둥 부피})\), \((\text{밑면이 삼각형}\rm DHA\text{인 삼각기둥 부피}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm DHA \text{기둥 부피})\)이다.

남은 호들을 다시 이등분하고, 이웃한 점들을 선분으로 연결하여 삼각형들을 만들자. 밑면이 이렇게 만들어진 삼각형이고 원기둥과 높이가 같은 삼각기둥들을 만들자. 이 과정을 계속해서 반복하자. 그러면 \((\text{원기둥 부피}) - (\text{삼각기둥들 부피의 합}) < (\text{원기둥 부피}) - 3(\text{원뿔 부피})\)이 되도록 남은 호를 이등분하여 더 작은 삼각기둥들을 만들 수 있다. [X권 명제 1]

위의 조건을 만족하는 선분이 \(\rm AE\), \(\rm EB\), \(\rm BF\), \(\rm FC\), \(\rm CG\), \(\rm GD\), \(\rm DH\), \(\rm HA\)라고 하자. 그러면 \((\text{밑면이 다각형}\rm AEBFCGDH\text{이고 원기둥과 높이가 같은 다각기둥의 부피}) > 3(\text{원뿔의 부피})\)이다.

그런데 \((\text{밑면이 다각형}\rm AEBFCGDH\text{이고 원기둥과 높이가 같은 다각기둥 부피}) = 3(\text{밑면이 다각형}\rm AEBFCGDH\text{이고 원기둥과 높이가 같은 각뿔 부피})\)이다. [XII권 명제 7 따름 명제] 그러므로 \((\text{밑면이 다각형}\rm AEBFCGDH\text{이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같은 각뿔 부피}) > (\text{밑면}\rm ABCD\text{이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같은 원뿔 부피})\)이다.

그런데 원뿔은 이 각뿔을 포함하고 있으니 이것은 불가능하다. 그러므로 \((\text{원기둥 부피}) > 3(\text{원뿔 부피})\)일 수 없다.

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2) \((\text{원기둥 부피}) < 3 (\text{원뿔 부피})\)이라고 하자.

만약 이것이 가능하다고 가정하면, \((\text{원기둥 부피}) < 3 (\text{원뿔 부피})\)이다. 그러면 \((\text{원뿔 부피}) > \frac13 (\text{원기둥 부피})\)이다.

원 \(\rm ABCD\) 안에 내접한 정사각형 \(\rm ABCD\)을 작도하자. [IV권 명제 6] \((\text{정사각형}\rm ABCD \text{넓이}) > \frac12 (\text{원}\rm ABCD \text{넓이})\)이다.

\((\text{밑면이 정사각형}\rm ABCD\text{이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같은 사각뿔 부피}) > \frac12 (\text{원뿔 부피})\)이다. 그 이유는 다음과 같다.

앞부분에서 증명한 것과 같이 원에 외접하도록 정사각형을 작도하면, \((\text{정사각형}\rm ABCD \text{넓이}) = \frac12 (\text{원에 외접한 정사각형 넓이})\)이다. 이 두 정사각형이 밑면이고 원뿔과 높이가 같은 두 사각기둥을 작도하자. 그러면 \((\text{밑면이 정삭가형}\rm ABCD\text{인 높이는 원뿔과 같은 사각기둥 부피}) = \frac12(\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{에 외접하는 정사각형이고 높이가 원뿔과 같은 사각기둥 부피})\)이다. 이들 부피는 밑면의 넓이에 비례한다. [XI권 명제 32]

그러므로 이들의 \(\frac13\)을 잡아도 같은 비율이 된다. 그러므로 \((\text{밑면이 정사각형}\rm ABCD\text{인 각뿔 부피}) = \frac12 (\text{밑면이 원에 외접하는 정사각형인 각뿔 부피})\)이다.

그러므로 밑면이 정사각형 \(\rm ABCD\)이고 꼭짓점이 원뿔의 꼭짓점과 같도록 작도면 \((\text{밑면이 정사각형}\rm ABCD\text{인 사각뿔 부피}) > \frac12 (\text{원뿔 부피})\)이다.

그리고 밑면이 원에 내접하는 정사각형인 각뿔을 원뿔을 포함하기 때문에 \((\text{밑면이 원에 내접하는 정사각형인 각뿔 부피}) > (\text{원뿔 부피})\)이다.

그러므로 \((\text{밑면이 정사각형}\rm ABCD\text{이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같은 사각뿔 부피}) > \frac12 (\text{원뿔 부피})\)이다.

호 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DA\)를 이등분하는 점을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)이라고 하자. 선분 \(\rm AE\), \(\rm EB\), \(\rm BF\), \(\rm FC\), \(\rm CG\), \(\rm GD\), \(\rm DH\), \(\rm HA\)를 그리자. 그러면 삼각형 \(\rm AEB\), \(\rm BFC\), \(\rm CGD\), \(\rm DHA\)와 각각의 원 \(\rm ABCD\)의 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm BFC\), \(\rm CGD\), \(\rm DHA\)에 대하여 \((\text{삼각형}\rm AEB \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm AEB \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm BFC \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm BFC \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm CGD \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴} CGD \text{넓이})\), \((\text{삼각형}\rm DHA \text{넓이}) > \frac12 (\text{활꼴}\rm DHA \text{넓이})\)이다.

밑면이 삼각형 \(\rm AEB\), \(\rm BFC\), \(\rm CGD\), \(\rm DHA\)이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같도록 삼각뿔을 작도하자. 같은 이유로 \((\text{밑면이 삼각형인 삼각뿔 부피}) > \frac12 (\text{밑면이 활꼴인 활꼴뿔 부피})\)이다.

남은 호들을 다시 이등분하고, 이웃한 점들을 선분으로 연결하여 삼각형들을 만들자. 밑면이 이들 삼각형이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같도록 삼각뿔을 작도하자. 이 과정을 반복하자. 그러면 \((\text{원뿔 부피}) - (\text{삼각뿔 부피의 합}) < (\text{원뿔 부피}) - \frac13(\text{원기둥})\)이 되도록 더 작게 삼각뿔들로 나눌 수 있다. [X권 명제 1]

위의 조건을 만족하는 선분이 \(\rm AE\), \(\rm EB\), \(\rm BF\), \(\rm FC\), \(\rm CG\), \(\rm GD\), \(\rm DH\), \(\rm HA\)라고 하자. 그러면 \((\text{밑면이 다각형}\rm AEBFCGDH\text{이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같은 각뿔 부피}) > \frac13 (\text{원기둥 부피})\)이다.

그런데 (밑면이 다각형 AEBFCGDH이고 꼭짓점이 원뿔 꼭짓점과 같은 각뿔 부피) = 1/3 (밑면이 다각형 AEBFCGDH이고 높이가 원기둥 높이와 같은 각기둥 부피)이다. 그러므로 (밑면이 다각형 AEBFCGDH이고 높이가 원기둥 높이와 같은 각기둥 부피) > (밑면이 원 ABCD인 원기둥 부피)이다.

그런데 밑면이 원 \(\rm ABCD\)인 원기둥은 밑면이 다각형 \(\rm AEBFCGDH\)이고 높이가 원기둥 높이와 같은 각기둥을 포함하고 있으니 이것은 불가능하다. 그러므로 \((\text{원기둥 부피}) < 3 (\text{원뿔 부피})\)일 수 없다.

그러므로 \((\text{원기둥 부피}) > 3 (\text{원뿔 부피})\)과 \((\text{원기둥 부피}) < 3 (\text{원뿔 부피})\) 모두 불가능하다는 것을 보였다. 따라서 \((\text{원기둥 부피}) = 3 (\text{원뿔 부피})\)이다. 그러므로 \((\text{원뿔 부피}) = \frac13 (\text{원기둥 부피})\)이다.

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그러므로 원뿔 부피는 밑면이 원뿔의 밑면인 원의 크기와 같고 원뿔의 높이가 같은 원기둥 부피의 \(\frac13\)이다.