명제 9
주어진 선분에서 선분의 부분의 정수배가 주어진 선분이 되는 선분의 부분을 잘라낼 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(n \overline{\rm AF}=\overline{\rm AB}\)인 점 \(\rm F\)는 선분 \(\rm AB\)의 내부점 \(\rm F\)를
잡아 \(\overline{\rm AF}\)를 잘라낼 수 있다.(단, \(n\)는 자연수)
증명
주어진 선분 \(\rm AB\)가 있다.
그러면 \(n \overline{\rm AF}=\overline{\rm AB}\)인 점 \(\rm F\)는 선분 \(\rm AB\)의 내부점 \(\rm F\)를 잡아 선분 \(\rm AF\)를 잘라
낼 수 있음을 보이자.(단 k는 자연수)
\(n=3\)이라고 하자. 그러면 선분 \(\rm AB\)에서 삼등분점 \(\rm F\)를 잡아 \(\rm AF\)를 잘라낼 수 있음을 보이자.
점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)와 임의의 각을 잡아 그 각을 만드는 반직선 \(\rm AC\)를 그리자. 선분 \(\rm AC\)에 임의의 점 \(\rm
D\)를 잡자. 선분 \(\rm DE\), \(\rm EC\)가 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm EC}=\overline{\rm AD}\)가 되도록 반직선 \(\rm AC\) 위의
두 점 \(\rm E\), \(\rm C\)를 잡자. [I권 명제 3]
선분 \(\rm CB\)를 그리자. 그리고 점 \(\rm D\)를 지나고 선분 \(\rm CB\)에 평행한 직선 \(\rm DF\)를 그리고 선분 \(\rm AB\)와의 교점을
\(\rm F\)라 하자. 그리고 선분 \(\rm DF\)를 그리자. [I권 명제 31]
그러면 삼각형 \(\rm ABC\)에서 선분 \(\rm DF\)는 선분 \(\rm CB\)와 평행하므로, \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm
AF}:\overline{\rm FB}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm DC}=2\overline{\rm AD}\)이므로 \(\overline{\rm FB}=2\overline{\rm AF}\)이다. 따라서\(\overline{\rm
AB}=3\overline{\rm AF}\)이다.
그러므로 주어진 선분에서 선분의 부분의 정수배가 주어진 선분이 되는 선분의 부분을 잘라낼 수 있다.
Q.E.D.
부연설명
이 명제는 주어진 선분 \(\rm AB\)를 \(n\)개의 동일한 부분으로 나누는 것이다. 또는 실제로 이 부분들 중 하나를 찾는 것이다. 유클리드는
그의 증명에서 \(n = 3\)의 경우를 증명하였다.
알-나이지리(Abu’l-Abbas al-Fadl ibn al-Nayrizi, 897?~922?)는 원론의 [I권]부터 [X권]까지 열권의 책에 대한 논평을 썼다. 그는 선분
\(\rm AB\)를 \(n\) 등분하는 또 다른 작도를 제시하였다. 먼저 \(\rm A\)와 \(\rm B\)에서 서로 반대 방향에 되도록 놓고 선분을 그린다. 점
\(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)에 위쪽으로 선분을 그린다. 그리고 점 \(\rm B\)에서 선분 \(\rm AB\)의 아래쪽으로 점 \(\rm A\)에서 그린
선분과 평행하고 길이가 같은 선분을 그린다. 이 두 선분 모두 \(\left(n - 1\right)\)개의 동일한 부분을 표시한 후 그림과 같이 점을
연결한다. 이 도형은 선분 \(\rm AB\)를 \(5\)등분한 것이다
알-나이리지의 작도는 유클리드의 작도보다 훨씬 적고 간단한 작도 방법이다. 이 작도가 타당하다는 증명의 분량은 유클리드의 작도와 거의
비슷한 분량이다.
이 작도는 [XIII 권] 몇몇 명제에서 \(\frac13\) 또는 \(\frac15\) 등분의 선분을 찾는 데 사용된다.