증명

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두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이고 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이라고 하자.

그러면 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 나머지 각들이 같다는 것을 보이자. 즉, \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm\angle ACB=\angle DFE\)임을 보이자.

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선분 \(\rm DF\)의 양 끝 점 \(\rm D\), \(\rm F\)에서 \(\rm\angle FDG=\angle BAC=\angle EDF\)인 각 \(\rm FDG\)를 만들고 \(\rm\angle DFG=\angle ACB\)인 각 \(\rm DFG\)를 만들자. [I권 명제 23]

그러면 남은 각 \(\rm B\)와 각 \(\rm G\)는 \(\rm\angle B=\angle G\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 삼각형 \(\rm ABC\)은 각들의 크기는 삼각형 \(\rm DGF\)의 각들의 크기와 같다.

그러므로 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm GD}:\overline{\rm DF}\)이다. [VI권 명제 4]

그런데 가정에서 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}=\overline{\rm GD}:\overline{\rm DF}\)이다. [V권 명제 11]

그러므로 \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm GD}\)이다. [V권 명제 9] 그리고 삼각형 \(\rm DEF\)와 삼각형 \(\rm DGF\)에서 \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm GD}\)이고 DF가 공통변으로 같고, \(\rm\angle EDF=\angle GDF\)이므로 삼각형 \(\rm DEF\)와 삼각형 \(\rm DGF\)이 합동이다. 따라서 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm GF}\)이고 더욱기 나머지 대응하는 각들의 크기도 각각 같다. [I권 명제 4]

그러므로 \(\rm\angle DFG=\angle DFE\), \(\rm\angle DGF=\angle DEF\)이다.

그런데 \(\rm\angle DFG=\angle ACB\)이므로 \(\rm\angle ACB=\angle DFE\)이다.

그리고 가정에서 \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이므로 나머지 각 \(\rm B\), \(\rm E\)도 \(\rm\angle B=\angle E\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DEF\)의 대응하는 각들의 크기가 각각 모두 같다.

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그러므로 두 삼각형이 있는데, 한 각의 크기가 같고, 그 각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례한다고 하자. 그러면 그 두 삼각형의 나머지 대응하는 각들의 크기가 서로 같다.

Q.E.D.