증명

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두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm FD}\), \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이다.

그러면 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm\angle BCA=\angle EFD\), \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)임을 보이자.

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선분 \(\rm EF\)의 양 끝 점 \(\rm E\), \(\rm F\)에 \(\rm\angle FEG=\angle ABC\)인 각 \(\rm FEG\)와 \(\rm\angle EFG=\angle ACB\)인 각 \(\rm EFG\)를 각각 그리자. [I권 명제 23]

그러면 나머지 각 \(\rm A\)와 각 \(\rm G\)는 \(\rm\angle A=\angle G\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm GEF\)의 각들의 크기가 모두 같다.

그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm GEF\)에서 서로 대응하는 같은 크기의 각들을 끼고 있는 변들의 길이가 서로 비례한다. [VI권 명제 4] 그러므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm GE}:\overline{\rm EF}\)이다.

그런데 가정에서 \(\\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm GE}:\overline{\rm EF}\)이다. [V권 명제 11]

\(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm GE}:\overline{\rm EF}\)이므로 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm GE}\)이다. [V권 명제 9]

같은 방법으로 \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm GF}\)이다.

그런데 삼각형 \(\rm DEF\)와 \(\rm GEF\)에서 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm GE}\)이고 \(\rm EF\)는 공통인 변이다. 그리고 밑변 \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm GF}\)이므로 두 삼각형 \(\rm DEF\), \(\rm GEF\)는 합동이다. 따라서 대응하는 두 각 \(\rm DEF\), \(\rm GEF\)는 \(\rm\angle DEF=\angle GEF\)이다. [I권 명제 8] 그리고 나머지 대응하는 각들이 서로 같다. [I권 명제 4]

그러므로 \(\rm\angle DFE=\angle GFE\), \(\rm\angle EDF=\angle EGF\)이다.

그리고 \(\rm\angle DEF=\angle GEF\), \(\rm\angle GEF=\angle ABC\)이다. 따라서 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\)이다.

같은 이유로 \(\rm\angle ACB=\angle DFE\)이다. 그리고 \(\rm\angle A=\angle D\)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 대응하는 각들의 크기는 같다.

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그러므로 두 삼각형의 대응하는 변들이 비례한다고 하자. 그러면 두 삼각형의 대응하는 각들이 각각 같다.

Q.E.D.