증명

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\(\rm\angle ABC=\angle DCE\), \(\rm\angle BAC=\angle CDE\), \(\rm\angle ACB=\angle DCE\)인 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DCE\)가 있다.

그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm ED}\)임을 보이자.

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두 변 \(\rm BC\), \(\rm CE\)가 한 직선 위에 있도록 하자.

그러면 \(\rm\angle ABC + \angle ACB < 180^\circ\)이다. [I권 명제 17] 그리고 \(\rm\angle ACB = \angle DEC\)이다. 그러므로 \(\rm\angle ABC+\angle DEC < 180^\circ\)이다. 두 반직선 \(\rm BA\), \(\rm ED\)는 교점을 갖고 교점을 \(\rm F\)라 하자. [I권 공리 5]

\(\rm\angle DCE=\angle ABC\)이므로 두 선분 \(\rm BF\), \(\rm CD\)는 평행하다. 다시 \(\rm\angle ACB=\angle DEC\)이므로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm FE\)는 평행하다. [I권 명제 28]

그러므로 사각형 \(\rm FACD\)는 평행사변형이므로 \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm DC}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm FD}\)이다. [I권 명제 34]

선분 \(\rm AC\)는 삼각형 \(\rm FBE\)의 변 \(\rm FE\)에 평행하므로 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AF}=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CE}\)이다. [VI권 명제 2]

\(\overline{\rm FD}=\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CE}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm DE}\)이고 [V권 명제 7] 바꾼 비래식 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm ED}\)도 성립한다. [V권 명제 16]

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm ED}\)임을 보였다.

그러므로 비율들은 차례로 같으니 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}\)이다. [V권 명제 22]

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그러므로 두 삼각형의 대응하는 각들이 각각 같다고 하자. 그러면 각을 끼고 있는 대응하는 두 변들은 서로 비례한다.

Q.E.D.