증명

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1) 주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 각 \(\rm BAC\)를 이등분하는 각이등분선과 밑변 \(\rm BC\)와 교점을 \(\rm D\)라 하자. 선분 \(\rm AD\)를 그리자.

그러면 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}\)임을 보이자.

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점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm AD\)에 평행한 선분 \(\rm CE\)를 그리자. 직선 \(\rm BA\)와 직선 \(\rm CE\)의 교점을 \(\rm E\)라 하자. [I권 명제 31]

그러면 선분 \(\rm AC\)가 평행한 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm EC\)와 만나기 때문에 \(\rm\angle ACE=\angle CAD\)이다. [I권 명제 29]

그런데 가정에서 \(\rm\angle CAD=\angle BAD\)이다. 그러므로 \(\rm\angle BAD=\angle ACE\)이다.

다시, 선분 \(\rm BAE\)가 평행한 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm EC\)와 만나기 때문에, 외각 \(\rm BAD\)와 같은 방향에 있는 내각(동위각) \(\rm AEC\)는 \(\rm\angle BAD=\angle AEC\)이다. [I권 명제 29]

\(\rm\angle BAD=\angle AEC\)이므로 \(\rm\angle ACE=\angle AEC\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AC}\)이다. [I권 명제 6]

그리고 삼각형 \(\rm BCE\)의 한 변 \(\rm EC\)는 평행하도록 선분 \(\rm AD\)를 그렸다. 따라서 \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm AE}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)이다.

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2) \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)가 되도록 선분 \(\rm BC\) 위의 점 \(\rm D\)를 잡자. 선분 \(\rm AD\)를 그리자.

그러면 선분 \(\rm AD\)가 각 \(\rm BAC\)를 이등분하는 것을 보이자.

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위와 같은 방법으로 도형을 작도하자. 선분 \(\rm AD\)는 삼각형 \(\rm BCE\)의 한 변인 \(\rm EC\)에 평행하기 때문에 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}\)이고, \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}\)이다. [VI권 명제 2] 그러므로 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}\)이다. [V권 명제 11]

그러므로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AE}\)이다. [V권 명제 9] 그러므로 \(\rm\angle AEC=\angle ACE\)이다 [I권 명제 5]

그런데 각 \(\rm ACE\)는 각 \(\rm CAD\)의 엇각이므로 \(\rm\angle ACE=\angle CAD\)이다. [I권 명제 29]

그러므로 선분 \(\rm AD\)는 각 \(\rm\angle BAC\)을 이등분한다.

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그러므로 삼각형의 한 각을 이등분하는 각이등분선이 밑변과 만나는 교점에 의해 나누어진 변의 비율은 인접한 나머지 두 변의 비율과 같다. 역으로 밑변을 인접한 나머지 두 변의 길이의 비율로 내분되는 내분점과 나머지 한 꼭짓점을 지나는 직선은 나머지 한 꼭짓점의 각을 이등분하는 각이등분선이다.

Q.E.D.