VI 권
명제
합동인 두 원에서 중심각이든 원주각이든 각들의 비율은 그 각들이 마주보는 호들의 길이 비율과 같다.
합동인 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 있다. 각 \(\rm BGC\), \(\rm EHG\)은 중심이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)에 있는 중심각이고, 각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)는 원주각이라고 하자. 그러면 \(\overset{\frown}{\rm BC} : \overset{\frown}{\rm EF}=\rm \angle BGC:\angle EHF\)이고 \(\overset{\frown}{\rm BC} : \overset{\frown}{\rm EF}=\rm\angle BAC:\angle EDF\)이다.
합동인 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 있다. 각 \(\rm BGC\), \(\rm EHG\)은 중심이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)에 있는 중심각이고, 각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)는 원주각이라고 하자.
그러면 \(\overset{\frown}{\rm BC} : \overset{\frown}{\rm EF}=\rm\angle BGC:\angle EHF\)이고 \(\overset{\frown}{\rm BC} : \overset{\frown}{\rm EF}=\rm\angle BAC:\angle EDF\)임을 보이자.
호 \(\rm BC\)의 길이와 같은 호를 원하는 만큼 그리자. 그 호를 호 \(\rm CK\), 호 \(\rm KL\)이라 하자.
그리고 호 \(\rm EF\)의 길이과 같은 호를 원하는 만큼 그리자. 그 호를 호 \(\rm FM\), 호 \(\rm MN\)이라고 하자. 선분 \(\rm GK\), \(\rm GL\), \(\rm HM\), \(\rm HN\)을 그리자.
\(\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm CK}=\overset{\frown}{\rm KL}\)이므로 \(\rm\angle BGC=\angle CGK=\angle KGL\)이다. [III권 명제 27] 그러므로 \(\overset{\frown}{\rm BL}= m\cdot \overset{\frown}{\rm BC}\)이면 \(\rm\angle BGL=m\cdot \angle BGC\)이다. 같은 이유로 \(\overset{\frown}{\rm NE}=n\cdot \overset{\frown}{\rm EF}\)이면 \(\rm \angle NHE=n\cdot \angle EHF\)이다. (여기서는 \(m=n=3\)이다.)
\(\overset{\frown}{\rm BL}=\overset{\frown}{\rm EN}\)이면 \(\rm\angle BGL=\angle EHF\)이다. \(\overset{\frown}{\rm BL}= m\cdot \overset{\frown}{\rm BC}\)이고, \(\rm\angle BGL=m\cdot \angle BGC\)이다. 또한 \(\overset{\frown}{\rm NE}=n \cdot \overset{\frown}{\rm EF}\)이고 \(\rm \angle NHE=n\cdot \angle EHF\)이다.
그런데 \(\overset{\frown}{\rm BL} >=< \overset{\frown}{\rm EN}\)이면 \(\rm\angle BGL >=< \angle EHN\)이다.[V권 정의 5]
\(\rm\angle BGC:\angle EHF=\angle BAC:\angle EDF\)이다. \(\rm\angle BFC=2\angle BAC\), \(\rm\angle EHF=2\angle EDF\)이기 때문이다.
그러므로 \(\overset{\frown}{\rm BC}:\overset{\frown}{\rm EF}=\rm\angle BGC:\angle EHF\)이고, \(\overset{\frown}{\rm BC}:\overset{\frown}{\rm EF}=\rm\angle BAC:\angle EDF\)이다.
그러므로 합동인 두 원에서 중심각이든 원주각이든 각들의 비율은 그 각들이 마주보는 호들의 길이 비율과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 어느 명제에도 필요하지 않기 때문에 이 책의 나머지 명제들과는 구별된다. 그러나 이것은 책의 첫 번째 [VI권 명제 1]과 유사하다. [VI권 명제 1]이 선분과 평면 도형 사이의 비율에 대한 것이라면, 이 명제는 각과 그 각도에 의해 절단된 원주 일부분인 호 사이의 비율에 대한 것이다.
원론에서 유클리드는 호의 길이에 대한 연구를 같은 반지름을 갖는 두 원으로 제한하였다. 유클리드는 크기가 다른 원의 호를 비교하지 않았다. 그러나 나중에 아르키메데스는 그의 원의 측정에서 그렇게 사용하였다.
이 명제는 호에 대한 진술을 각에 대한 진술로 변환하기 위해 [XIII권 명제 8]로 시작하는 책 [XIII 권]에서 다음의 세 개의 명제에서 사용된다. 덧붙여서, 세 가지 명제 모두 원에 새겨진 정오각형과 관련이 있다.