Proposition 31 of Book VI

명제 31

직각삼각형에 세 변에 닮은꼴인 도형을 작도하자. 그러면 직각과 마주보는 변에 놓인 도형의 넓이는 나머지 두 변에 놓인 두 도형의 넓이의 합과 같다.

\(\rm\angle A=90^circ\)인 직각삼각형 \(\rm ABC\)의 세 변에 닮은꼴의 도형을 작도하자. 그러면 (변 \(\rm BC\) 위에 있는 도형 넓이)\(=\)(변 \(\rm AB\) 위에 있는 도형 넓이)\(+\)(변 \(\rm AC\)에 위에 있는 도형 넓이)이다.

증명

\(\rm\angle A=90^\circ\)인 직각삼각형 \(\rm ABC\)의 세 변에 닮은꼴의 도형을 작도하자.

그러면 (변 \(\rm BC\) 위에 있는 도형 넓이)\(=\)(변 \(\rm AB\) 위에 있는 도형 넓이)\(+\)(변 \(\rm AC\)에 위에 있는 도형 넓이)임을 보이자.

선분 \(\rm BC\)에 수직인 선분 \(\rm AD\)를 그리자. [I권 명제 12]

선분 \(\rm AD\)를 직각삼각형 \(\rm ABC\)의 점 \(\rm A\)에서 밑변 \(\rm BC\)에 수직으로 그렸으므로 직각에 이웃한 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)는 전체인 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮은꼴이며, 서로 닮은꼴이다. [VI권 명제 8]

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)가 닮은꼴이므로 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BA}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm BD}\)이다.[VI권 정의 1]

세 선분이 비례하므로 변 \(\rm BC\)와 변 \(\rm AB\) 위에 그린 닮은 도형의 넓이 비율이 같다. [VI권 명제 19 따름명제]

그러므로 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BD}=\)(변 \(\rm CB\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)\(:\)(변 \(\rm BA\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)이다.

같은 논리로, \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=\)(변 \(\rm BC\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)\(:\)(변 \(\rm CD\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)이다. 이 둘을 더하면 다음과 같다.

\(\overline{\rm BC}:\left(\overline{\rm BD}+\overline{\rm DC}\right)=\)(변 \(\rm BC\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)\(:\)((변 \(\rm AB\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)\(+\)(변 \(\rm CD\) 위에 있는 닮은 도형 넓이))

그런데 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BD}+\overline{\rm DC}\)이다. 따라서 (변 \(\rm BC\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)\(=\)(변 \(\rm AB\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)\(+\)(변 \(\rm CD\) 위에 있는 닮은 도형 넓이)이다.

그러므로 직각삼각형에 세 변에 닮은꼴인 도형을 작도하자. 그러면 직각과 마주보는 변에 놓인 도형의 넓이는 나머지 두 변에 놓인 두 도형의 넓이의 합과 같다.

Q.E.D.

부연설명

이 명제는 [I권 명제 47]을 일반화한 것이다. 바뀐것은 정사각형이 직선으로 연견된 닮은 도형으로 대체되어 있다.

히포그라테스의 달 모양의 도형에 대한 구적법에 대하여 살펴보자.

프로클로스(Proclus)는 이 명제는 유클리드 자신의 것이고 증명도 본인이 하였으나 결론은 그렇지 않다고 말하였다. 이 명제의 결론은 유클리드 이전에 이미 널리 알려져 있었다. 적어도 유클리드 이전의 히포크라테스 시대까지 거슬러 올라간다.

히포크라테스가 연구하던 광범위한 문제는 원의 정사각형화(squaring circle)이라고도 불리는 원의 사분원형 문제였는데, 이는 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형(또는 다른 다각형)을 찾는 것이다. 히포크라테스는 이 문제를 해결하지는 못했지만, 초승달 모양과 관련된 문제를 해결하였다. 초승달은 두 개의 원이 서로 겹치지 않는 영역이다. 히포크라테스는 임의의 반달을 정사각형화 하는데는 데 성공하지는 못하였지만, 몇 가지 특별한 사례에서 성공하였다. 여기 가장 간단한 경우는 다음과 같다

정사각형 \(\rm ABCD\)를 그리고 두 대각선 \(\rm AC\), \(\rm BD\)의 교점을 \(\rm E\)라 하자. 지름이 \(\rm AC\)인 반원 \(\rm AGBHC\)을 그리자. 그러면 삼각형 \(\rm ABC\)는 직각삼각형이다. 점 \(\rm D\)를 중심으로 하고 반지름 \(\rm DA\)인 호 \(\rm AFC\)를 그리자.

히포크라테스는 호 \(\rm AGBHC\)의 호 \(\rm AFC\) 사이의 초승달 넓이를 구하였다.

아래 그림의 세 개의 도형을 주목하자. 밑변을 \(\rm AB\)로하는 활꼴 \(\rm AGB\) 그리고 밑변을 \(\rm BC\)로 하는 활꼴 \(\rm BHC\) 그리고 밑변을 \(\rm AC\)로 하는 활꼴 \(\rm AGBHC\)이다. 이 세 도형은 모두 사분원에서 같은 모양으로 세 도형 모두 닮음꼴이다.

히포크라테스는 명제 [VI권 명제 31]을 성질을 사용하여 두 개의 작은 도형의 넓이의 합이 큰 도형의 넓이의 합과 같다는 것을 사용하였다.

즉, (활꼴 \(\rm AGB\) 넓이)\(+\)(활꼴 \(\rm BHC\) 넓이)\(=\)(활꼴 \(\rm AGBHC\) 넓이)임을 사용하였다. 물론 [VI권 명제 31]은 직선으로 연결된 도형에 관한 것이지만 곡선에 대해서 적용하였다.

따라서, (반원 \(\rm AGBHC\) 넓이)\(-\)(활꼴 \(\rm AFC\) 넓이)\(=\)(반원 \(\rm AGBHC\) 넓이)\(-\)((활꼴 \(\rm AGB\) 넓이)\(+\)(활꼴 \(\rm BHC\) 넓이))\(=\)(직각삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)이다.

히포크라테스 시대에는 유클리드 비율 이론이 발전되지 않았기 때문에 닮은 도형 이론(제 5권)에 대한 이해가 유클리드 이후만큼 완전하지 못했다는 점에 주목하자. 또한 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 찾기 위한 에우독소스(Eudoxus)의 소진 원리([XI권] 및 [X권 명제 1] 참조)가 아직 발견되지 않았기 때문에 곡선 도형의 넓이 개념도 흔들리고 있었다. 이러한 상황은 수학에서 흔히 볼 수 있다.