VI 권
명제
어떤 선분을 황금비율로 나눌 수 있다.
선분 \(\rm AB\)를 황금비율로 나눌 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)가 있다.
그러면 선분 \(\rm AB\)를 황금비율로 나눌 수 있음을 보이자.
선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm CABH\)를 작도하자. 직선 \(\rm AC\) 위에 정사각형 \(\rm CABH\)와 닮은꼴인 정사각형 \(\rm AGDE\)를 추가하여 (직사각형 \(\rm CGDF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm CABH\) 넓이)이 되도록 직사각형 \(\rm CGDF\)를 작도하자. [I권 46, VI권 명제 29]
사각형 \(\rm CABH\)는 정사각형이므로 사각형 \(\rm AGDE\)도 정사각형이다.
(직사각형 \(\rm CGDF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm CABH\) 넓이)이므로 다음이 성립한다.
(정사각형 \(\rm CABH\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm CAEF\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CGDF\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm CAEF\) 넓이)
(직사각형 \(\rm FEBH\) 넓이) \(=\) (정사각형 \(\rm AGDE\) 넓이)
직사각형 \(\rm FEBH\)와 정사각형 \(\rm AGDED\)의 모든 각들이 같다. 그러므로 직사각형 \(\rm FEBH\)와 \(\rm AGDE\)에서 같은 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. [VI권 명제 14] 그러므로 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm ED}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm FE}=\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm AE}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AE}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}\)이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm AE}\)이므로 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm EB}\)이다.
그러므로 점 \(\rm E\)는 선분 \(\rm AB\)를 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm EB}\)이며 그 비율이 황금비가 되도록 나누었다.
그러므로 선분 \(\rm AB\)를 황금비율로 나눌 수 있다.
Q.E.D.
한 선분을 내부점에 의해서 황금비로 나눈다는 것은 나누어진 두 선분의 길이가 \(a\), \(b\)이고 \(a>b\)인 경우, \((a+b):b=b:a\)를 만족하는 것이다. [VI권 명제 17]에 의해서, 두 변의 길이가 \((a+b)\)와 \(a\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 b인 정사각형 넓이와 같다.
이것은 [II권 명제 11]에 의한 작도를 하는 것과 같다.
이 작도는 [XIII권 명제 17]에서 정십이면체의 한 변인 정오각형을 작도할 때 사용된다.