VI 권
명제
주어진 선분과, 다각형, 평행사변형이 있다. 그 선분에 주어진 다각형과 같은 넓이와 같도록 평행사변형을 작도할 수 있고, 주어진 선분 보다 긴 부분의 평행사변형이 주어진 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형만큼 더 크도록 작도할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\), 다각형 \(\rm C\), 평행사변형 \(\rm D\)가 있다. 다각형 \(\rm C\)와 넓이가 같은 평행사변형을 선분 \(\rm AB\) 위에 작도할 수 있고, \(\rm AB\) 보다 더 긴 부분의 평행사변형이 평행사변형 D와 닮은꼴 평행사변형이 되도록 작도할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\), 다각형 \(\rm C\), 평행사변형 \(\rm D\)가 있다.
그러면 다각형 \(\rm C\)와 넓이가 같은 평행사변형을 선분 \(\rm AB\) 위에 작도할 수 있고, 이때 선분 \(\rm AB\)보다 더 긴 부분의 평행사변형은 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴 평행사변형이 되도록 잘도 할 수 있음을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB\)에 중점 \(\rm E\)를 잡자. 선분 \(\rm EB\) 위에 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴 평행사변형 \(\rm EBLF\)를 평행사변형 \(\rm D\)와 같은 방향으로 작도하자. (평행사변형 \(\rm GIHK\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm EBLF\) 넓이)\(+\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)가 되도록 평행사변형 \(\rm GIHK\)를 작도하자. [VI권 명제 25]
그러면 선분 \(\rm KH\)는 선분 \(\rm FL\)에 대응하고, 선분 \(\rm KG\)는 선분 \(\rm FE\)에 대응한다.
(평행사변형 \(\rm GIHK\) 넓이)\(>\)(평행사변형 \(\rm EBLF\) 넓이)이므로 \(\overline{\rm KH}>\overline{\rm FL}\), \(\overline{\rm KG}>\overline{\rm FE}\)이다.
두 선분 \(\rm FL\), \(\rm FE\)를 길게 늘여서 \(\overline{\rm FLM}=\overline{\rm KH}\)가 되도록하고 \(\overline{\rm FEN}=\overline{\rm KG}\)가 되도록하자.
그러면 두 평생사변형 \(\rm FNOM\), \(\rm KGIH\)는 (평행사변형 \(\rm FNOM\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm KGIH\) 넓이)이며 닮은꼴이다.
그런데 평행사변형 \(\rm KGIH\)는 평행사변형 \(\rm FEBL\)과 닮은꼴이다. 그러므로 평행사변형 \(\rm FNOM\)도 평행사변형 \(\rm FEBL\)과 닮은꼴이다. [VI권 명제 21] 그러므로 평행사변형 \(\rm FEBL\)과 평행사변형 \(\rm FNOM\)은 같은 대각선을 갖는다. [VI권 명제 26]
이 두 평행사변형 \(\rm FEBL\), \(\rm FNOM\)의 대각선을 그리자.
(평행사변형 \(\rm KGIH\) 넓이)\(=\)(평생사변형 \(\rm FEBL\) 넓이)\(+\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이고 (평행사변형 \(\rm KGIH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm FNOM\) 넓이)이므로 (평행사변형 \(\rm FNOM\) 넓이)\(=\)(평생사변형 \(\rm FEBL\) 넓이)\(+\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이다.
(평행사변형 \(\rm FNOM\) 넓이)\(-\)(평행사변형 \(\rm FEBL\) 넓이)\(=\)(평생사변형 \(\rm FEBL\) 넓이)\(+\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)\(-\)(평행사변형 \(\rm FEBL\) 넓이)
(노몬 \(\rm ENOMLB\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)
\(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\)이므로 (평행사변형 \(\rm AJNE\) 넓이)\(=\)(평생사변형 \(\rm ENQB\) 넓이)\(\ =\)(평행사변형 \(\rm LBPM\) 넓이)이다. [I권 명제 36, I권 명제 43]
(평행사변형 \(\rm AJNE\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm ENOP\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm LBPM\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm ENOP\) 넓이)
(평행사변형 \(\rm AJOP\) 넓이)\(=\)(노몬 \(\rm ENOMLB\) 넓이)
그런데 (노몬 \(\rm ENOMLB\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이다. 그러므로 (평행사변형 \(\rm AJOP\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이다.
그러므로 선분 \(\rm AB\) 위에 평행사변형 \(\rm AJOP\)를 작도하였고, (평행사변형 \(\rm AJOP\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이고, 선분 \(\rm AB\) 보다 더 긴 부분에 평행사변형 \(\rm BQOP\) 만큼 더 긴데, 평행사변형 \(\rm BQOP\)는 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴이다. 왜냐하면 평행사변형 \(\rm BQOP\)는 평행사변형 \(\rm FEBL\)과 닮은꼴이기 때문이다.
그러므로 주어진 선분과, 다각형, 평행사변형이 있다. 그 선분에 주어진 다각형과 같은 넓이와 같도록 평행사변형을 작도할 수 있고, 주어진 선분 보다 긴 부분의 평행사변형이 주어진 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형만큼 더 크도록 작도할 수 있다
Q.E.D.
이 명제의 작도는 [II권 명제 6] 부연설명에서 설명한 것의 일반화이다. 그 명제에서, 도형 \(\rm D\)는 정사각형이다.
직사각형으로의 단순한 증명은 다음과 같다.
이 명제의 경우 주어진 직사각형 \(\rm C\)와 동일한 직사각형 \(\rm AROP\)를 주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 작도하지만 정사각형(그림의 \(\rm BQOP\))만큼 더 길게 작도된다. 따라서 선분과 나란히 놓인 직사각형이 선분 \(\rm AB\)의 끝에서 연장되지만, 그 끝을 넘어 연장되는 부분은 정사각형이다.
작도의 경우, 점 \(\rm E\)는 선분 \(\rm AB\)의 중점이고, 정사각형 \(\rm BEFL\)을 작도한 다음 정사각형 \(\rm FNOM\)에 직사각형 \(\rm C\)를 더한 넓이와 같게 하여 도형을 완성한다.
이전 명제와 같이 대수적으로 해석하면 이 작도의 의미를 더 쉽게 이해할 수 있다. 주어진 길이 \(\rm AB\)와 미지수 \(x\)는 구하여야 하는 선분 \(\rm BP\)의 길이를 나타낸다. 그러면 \((a + x) x = \rm C\)가 되도록 \(x\)를 구하는 것이다. 즉, 이차 방정식 \(ax + x^2 = \rm C\)를 풀어야 한다.
이 명제의 작도는 극단적이고 평균 비율로 직선을 절단하는 다음 명제에 사용된다.