VI 권
명제
주어진 어떤 선분, 다각형, 평행사변형에 대하여, 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 평행사변형으로 다각형과 넓이가 같은 것은 그 선분 위에 작도하자. 그러면 다각형 넓이를 뺀 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 선분의 절반에 그린 것보다 도형의 넓이가 크지 않아야 한다.
주어진 선분 \(\rm AB\), 다각형 \(\rm C\), 빼야할 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm D\)가 있다. 그리고 도형 \(\rm C\)의 넓이는 선분 \(\rm AB\) 위에 선분 \(\rm AB\) 길이의 절반에 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형을 그린 것 보다 넓지 않다. 이때 선분 \(\rm AB\) 위에 다각형 C와 넓이가 같은 평행사변형을 그려야 하며, 그 평행사변형은 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 도형이어야 한다.
주어진 선분 \(\rm AB\), 다각형 \(\rm C\), 빼야할 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm D\)가 있다. 그리고 도형 \(\rm C\)의 넓이는 선분 \(\rm AB\) 위에 선분 \(\rm AB\) 길이의 절반에 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형을 그린 것 보다 넓지 않다. [VI권 명제 27]
이때 선분 \(\rm AB\) 위에 다각형 \(\rm C\)와 넓이가 같은 평행사변형을 그려야 하며, 그 평행사변형은 평행사변형 D와 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 도형임을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB\) 위에 중점 \(\rm E\)를 잡자. 선분 \(\rm EB\)에 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴이며 \(\rm D\)와 같은 방향에 작도된 평행사변형 \(\rm EBFG\)를 작도하자. [I권 몇제 9, VI권 명제 18] 평행사변형 AEGH를 작도하자.
(평행사변형 \(\rm AEGH\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이면 이 명제는 증명되었다. 직선 \(\rm AB\) 위에 평행사변형 \(\rm AEGH\)를 작도하였는데 (평행사변형 \(\rm AEGH\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이고, 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm GEBF\)를 뺀 도형이기 때문이다.
그러나 (평행사변형 \(\rm AEGH\) 넓이)\(\ne\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이면, (평행사변형 \(\rm HAEG\) 넓이)\(>\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이다.
(평행사변형 \(\rm HAEG\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)이므로 (평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)\(>\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이다.
(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)\(-\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)가 되도록 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴이고 \(\rm D\)와 같은 방향에 평행사변형 \(\rm LKNM\)을 작도하자. [VI권 명제 25]
그러나 평행사변형 \(\rm D\)는 평행사변형 \(\rm GEBF\)와 닮은꼴이다. 그러므로 평행사변형 \(\rm LKNM\)도 평행사변형 \(\rm GEBG\)와도 닮은꼴이다. [VI권 명제 21]
그러므로 선분 \(\rm KL\)은 선분 \(\rm EG\)에 대응하고 선분 \(\rm LM\)은 선분 \(\rm GF\)에 대응한다.
(평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)이다. 그러므로 (평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)\(>\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm GE}>\overline{\rm LK}\), \(\overline{\rm GF}>\overline{\rm LM}\)이다.
\(\overline{\rm GO}=\overline{\rm LK}\)인 선분 \(\rm GO\)를 그리고, \(\overline{\rm GP}=\overline{\rm LM}\)인 선분 \(\rm GP\)를 그리자. 그리고 평행사변형 \(\rm GOQP\)를 작도하자. 그러면 두 평행사변형 \(\rm GOQP\), \(\rm LKNM\)은 (평행사변형 \(\rm GOQP\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)이고 닮은꼴이다.
그러므로 평행사변형 \(\rm GOQP\)는 평행사변형 \(\rm GEBF\)와 닮은꼴이다. [VI권 명제 21]
그러므로 평행사변형 \(\rm GOQP\)는 평행사변형 \(\rm GEBF\)와 대각선 길이가 같다. [VI권 명제 26]
대각선 \(\rm GQB\)를 그리자. 위의 그림과 같이 도형을 작도하자.
(평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)이고, (평행사변형 \(\rm GOQP\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)이므로 다음이 성립한다.
(평행사변형 \(\rm GEBF\) 넓이)\(-\)(평행사변형 \(\rm GOQP\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)\(-\)(평행사변형 \(\rm LKNM\) 넓이)
(노몬 \(\rm OEBFPQ\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)
(평행사변형 \(\rm PQRF\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm OESQ\) 넓이)이므로 다음이 성립한다.
(평행사변형 \(\rm PQRF\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm QSBR\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm OESQ\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm QSBR\) 넓이)
(평행사변형 \(\rm OESQ\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm OEBR\) 넓이)
왜냐하면 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\)이기 때문이다. [I권 명제 36] 그러므로 (평행사변형 \(\rm TAEO\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm PSBF\) 넓이)이다.
(평행사변형 \(\rm TAEO\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm OESQ\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm PSBF\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm OESQ\) 넓이)
(평행사변형 \(\rm TASQ\) 넓이)\(=\)(노몬 \(\rm OEBFPQ\) 넓이)이다. 그러므로 (평행사변형 \(\rm TASQ\) 넓이)\(=\)(다각형 \(C\) 넓이)이다.
그런데 주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 평행사변형 \(\rm TASQ\)를 작도하였고, (평행사변형 \(\rm TASQ\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm C\) 넓이)이고, 주어진 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm QSBR\)를 뺀 형태이다.
그러므로 주어진 어떤 선분, 다각형, 평행사변형에 대하여, 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 평행사변형으로 다각형과 넓이가 같은 것은 그 선분 위에 작도하자. 그러면 다각형 넓이를 뺀 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 선분의 절반에 그린 것보다 도형의 넓이가 크지 않아야 한다.
Q.E.D.
이 명제를 사용할 때, 주어진 평행사변형 D는 보통 정사각형이다. 그런 다음 선분 SB와 선분 AS를 두 변으로 한 직사각형 넓이가 직선으로 둘러싸인 도형 C의 넓이와 같도록 선분 AB를 점 S로 절단하는 문제이다. 이 특별한 경우는 [II권]의 명제의 도움을 받아 증명할 수 있다. 자세한 내용은 [II권 명제 5] 부연설명을 참조하시오.
직사각형에 대한 단순화된 증명 개요를 살펴 보자.
이 명제의 증명은 따라가기가 어렵다. 위에서 언급한 특수한 경우, 즉 주어진 평행사변형 D가 정사각형일 때는 단순해진다. 언급된 나머지 평행사변형들은 모두 직사각형이기 때문에 단순화된 증명은 따라가기가 더 쉽다.
다음과 같이 도형을 작도하자. 선분 \(\rm AB\)의 중점 \(\rm E\)를 잡고, 정사각형 \(\rm GFBE\)를 작도하자
그러면 (정사각형 \(\rm GPQO\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm GFBE\))\(-\)(직사각형 \(\rm C\) 넓이)임을 보이자.
정사각형 \(\rm GPQO\)의 대체 작도에 대해서 이를 위해 [I권 명제 47]을 적용한 [X권 명제 14]의 개요를 참조하자.
도형을 완성하자.
이를 대수적으로 해석하면 이 구성의 의미를 더 쉽게 이해할 수 있다. 주어진 길이 \(\rm AB\)와 넓이 \(\rm C\)라고 하고, \(x=\overline{\rm SB}\)와 \(y=\overline{\rm SA}\)이라고 하자. 그러면 이 작도는 \(x\)와 \(y\)를 구해서 \(x+y=a\)이고 \(xy=\rm C\)인 \(x\), \(y\)를 구하는 것이다.
한 변수 \(x\)로 나타내면, 이차방정식 \(ax-x^2=\rm C\)를 구하는 것이다.
다음 명제는 이와 비슷한 이차방정식 \(ax+x^2=\rm C\)를 구하는 것이다.
이 명제는 작도는 [X권 명제 33], [X권 명제 34]에서 사용된다.