증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)에 중점 \(\rm C\)를 잡자. 선분 \(\rm AB\) 위에 평행사변형 \(\rm ACDI\)를 작도하자. 이 평행사변형 \(\rm ACDI\)는 선분 \(\rm AB\)의 절반인 선분 \(\rm CB\) 위에 작도한 평행사변형 \(\rm CBED\)를 뺀 것이다.

그러면 평행사변형 \(\rm DCBE\)와 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 평행사변형을 선분 \(\rm AB\) 위에 작도한 평행사변형 중 평행사변형 \(\rm ACDI\)의 넓이가 가장 크다는 것을 보이자.

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선분 \(\rm AB\) 위에 평행사변형 \(\rm AKFG\)를 작도하자. 이 평행사변형 \(\rm AKFG\)는 평행사변형 \(\rm DCBE\)와 닮은꼴이며 같은 방향에 작도된 평행사변형 \(\rm FKBH\)를 뺀 평행사변형이다.

그러면 (평행사변형 \(\rm ACDI\) 넓이)\(\ge\)(평행사변형 \(\rm AKFG\) 넓이)임을 보여야 한다.

두 평행사변형 \(\rm DCBE\), \(\rm FKBH\)는 닮은꼴이므로 같은 크기의 대각선을 갖는다. [VI권 명제 26]

대각선 \(\rm DB\)를 그리고, 그 위에 그림과 같은 도형을 그리자.

그러면 두 평행사변형 \(\rm CKFJ\), \(\rm FHEN\)은 (평행사변형 \(\rm CKFJ\)넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm FHEN\) 넓이)이고 [I권 명제 43] 평행사변형 \(\rm FKBH\)는 공통이므로 다음이 성립한다.

(평행사변형 \(\rm CKFJ\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm FKBH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm FHEN\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm FKBH\) 넓이)

(평행사변형 \(\rm CBHJ\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm KBEN\) 넓이)

그런데 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\)이므로 (평행사변형 \(\rm CBHJ\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm CJGA\) 넓이)이다. [I권 명제 36]

그러므로 (평행사변형 \(\rm GACJ\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm ENKB\) 넓이)이다.

(평행사변형 \(\rm GACJ\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm CKFJ\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm ENKB\) 넓이)\(+\)(평행사변형 \(\rm CKFJ\) 넓이)

(평행사변형 \(\rm AKFG\) 넓이)\(=\)(노몬 \(\rm JCBENF\) 넓이)

이다. (평행사변형 \(\rm DCBE\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm ACDI\) 넓이)\(\ge\)(평행사변형 \(\rm AKFG\) 넓이)이다.

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그러므로 주어진 어떤 선분 위에 평행사변형을 작도하는데 주어진 선분의 길이에 절반인 선분 위에 작도한 평행사변형과 닮은꼴이며 같은 방향에 작도한 평행사변형을 빼 버리고 작도하자. 그러면 주어진 선분의 절반 위에 놓이고 빼는 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형의 넓이가 가장 크다.

Q.E.D.