증명

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평행사변형 \(\rm ABCD\)와 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm AEFG\)를 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 같은 영역에 각 \(\rm DAB\)를 공통각을 가지도록 작도하자.

그러면 \(\rm AEFG\)의 점 \(\rm F\)는 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선 \(\rm AC\) 위에 있음을 보이자.

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만약 점 \(\rm F\)가 대각선 \(\rm AC\) 위에 있지 않다고 하자. 그러면 대각선을 \(\rm AHC\)이라고 하자.

그러면 선분 \(\rm GF\)를 길게 늘여서 점 \(\rm H\)를 지나도록 하고, 선분 \(\rm AD\) 또는 선분 \(\rm BC\)에 평행하도록 점 \(\rm H\)에서 선분 \(\rm HK\)를 그리자. [I권 명제 31]

평행사변형 \(\rm AKHG\)의 대각선은 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선의 일부이므로 \(\overline{\rm DA}:\overline{\rm AB}=\overline{\rm GA}:\overline{\rm AK}\)이다. [VI권 명제 24]

그런데 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm AEFG\)는 닮은꼴이므로 \(\overline{\rm DA}:\overline{\rm AB}=\overline{\rm GA}:\overline{\rm AE}\)이다. [VI권 정의 1] 그러므로 \(\overline{\rm AK}:\overline{\rm DA}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm DA}\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm AE}\)이다. [V권 명제 9] 이것은 \(\overline{\rm AK}>\overline{\rm AE}\)인 것에 모순이다.

그러므로 평행사변형 \(\rm AEFG\)의 점 \(\rm F\)는 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선 위에 있다.

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그러므로 주어진 한 평행사변형에 대하여, 그것과 닮은꼴인 평행사변형을 같은 영역에 공통각을 가지도록 작도하면, 새롭게 그린 평행사변형의 공통각을 갖는 꼭짓점의 반대편의 점은 전체 평행사변형의 대각선 위에 있다.

Q.E.D.