증명

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평행사변형 \(\rm ABCD\)의 한 대각선 \(\rm AC\)를 그리자. 대각선 \(\rm AC\) 위의 한 점에서 대각선 일부를 포함한 두 평행사변형 \(\rm AFGE\), \(\rm FKCH\)를 그리자.

그러면 두 평행사변형 \(\rm AFGE\), \(\rm FKCH\)은 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 닮은꼴이고 서로도 닮은꼴임을 보이자.

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삼각형 \(\rm ABC\)의 한 변 \(\rm BC\)에 평행하게 선분 \(\rm EF\)를 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BE}:\overline{\rm EA}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FA}\)이다. [VI권 명제 2]

그리고 삼각형 \(\rm ACD\)의 한 변인 \(\rm CD\)에 평행하게 선분 \(\rm FG\)를 그리자. 그러면 \(\overline{\rm CF}:\overline{\rm FA}=\overline{\rm DG}:\overline{\rm GA}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm CF}:\overline{\rm FA}=\overline{\rm BE}:\overline{\rm EA}\)이므로 \(\overline{\rm BE}:\overline{\rm EA}=\overline{\rm DG}:\overline{\rm GA}\)이다. 따라서 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}=\overline{\rm DA}:\overline{\rm AG}\)이고 [V권 명제 18], 바꾼 비례식 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AG}\)이다. [V권 명제 16]

그러므로 두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm EAGF\)는 각 \(\rm BAD\)은 공통각이므로 각 \(\rm BAD\)를 끼고 있는 변들이 비례한다. 즉, \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm AB}=\overline{\rm AG}:\overline{\rm AE}\)이다.

그리고 두 변 \(\rm GF\), \(\rm DC\)는 평행하므로 \(\rm\angle AFG=\angle DCA\)이다. 각 \(\rm DAC\)는 두 삼각형 \(\rm ADC\), \(\rm AGF\)의 공통각이므로 삼각형 \(\rm ADC\), \(\rm AFG\)는 나머지 대응하는 각들의 크기가 같다. [I권 명제 29]

같은 이유로 두 삼각형 \(\rm ACB\), \(\rm AFE\)의 대응하는 각들의 크기가 같다. 따라서 두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm EAGF\)의 대응하는 각들의 크기가 같다.

그러므로 \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm DC}=\overline{\rm AG}:\overline{\rm GF}\), \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm GF}:\overline{\rm FA}\)이고 \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CB}=\overline{\rm AF}:\overline{\rm FE}\), \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BA}=\overline{\rm FE}:\overline{\rm EA}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm FA}\)을 보였고, \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CB}=\overline{\rm AF}:\overline{\rm FE}\)이므로 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CB}=\overline{\rm GF}:\overline{\rm FE}\)이다. [V권 명제 22]

그러므로 두 평생사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm EAGF\)는 같은 각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례한다. 그러므로 두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm EAGF\)는 닮은꼴이다. [VI권 정의 1]

같은 이유로 두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm FHCK\)도 닮은꼴이다. 그러므로 두 평행사변형 \(\rm EAGF\), \(\rm FKCH\)는 전체 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 닮은꼴이다.

그런데 두 다각형이 한 다각형과 닮은꼴이면 그 두 다각형도 서로 닮은꼴이다. [VI권 명제 21] 그러므로 두 평행사변형 \(\rm EAFG\), \(\rm HFKC\)는 서로 닮은꼴이다.

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그러므로 모든 평행사변형에서 한 대각선 위의 한 점에서 대각선의 일부를 포함한 두 평행사변형을 작도하자. 그러면 이 두 평행사변형은 처음 큰 평행사변형과 닮은꼴이고 두 평행사변형도 서로 닮은꼴이다.

Q.E.D.