증명

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두 다각형 \(\rm ABCDE\)와 \(\rm FGHKL\)은 닮음 도형이고 변 \(\rm AB\)가 변 \(\rm FG\)에 대응한다고 하자.

그러면 두 다각형 \(\rm ABCDE\)와 \(\rm FGHKL\)은 닮음 삼각형들로 나눌 수 있으며, 나누어진 삼각형의 개수는 같으며, 삼각형들의 넓이 비율은 전체 넓이 비율과 같고, (다각형 \(\rm ABCDE\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm FGHKL\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2:\overline{\rm FG}^2\)임을 보이자.

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선분 \(\rm BE\), \(\rm CE\), \(\rm GL\), \(\rm HL\)을 그리자.

다각형 \(\rm ABCDE\)와 다각형 \(\rm FGHKL\)은 닮음이므로 \(\rm\angle BAE=\angle GFL\)이며 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}=\overline{\rm GF}:\overline{\rm FL}\)이다. [VI권 정의 1]

두 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm FGL\)은 \(\rm\angle BAE=\angle GFL\)으로 한 각의 크기가 같고, 그 끼인 변들이 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AE}=\overline{\rm GF}:\overline{\rm FL}\)로 비례한다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm FGL\)은 대응하는 각들의 크기가 같으며 [VI권 명제 6], 따라서 두 삼각형은 닮음이다. [VI권 명제 4, 정의 1] 그러므로 \(\rm\angle ABE=\angle FGL\)이다.

그런데 \(\rm\angle ABC\angle FGH\)이다. 왜냐하면 두 다각형이 닮음이기 때문이다. 그러므로 남은 각이 같다. 즉, \(\rm\angle EBC=\angle LGH\)이다.

두 삼가형 \(\rm ABC\), \(\rm FGL\)은 닮음이므로 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm BA}=\overline{\rm LG}:\overline{\rm GF}\)이다. 그리고 두 다각형이 닮음이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GH}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm LG}:\overline{\rm GH}\)이다. [V권 명제 22] 즉, \(\rm\angle EBC=\angle LGH\)인 두 각 \(\rm EBC\), 각 \(\rm LGH\)를 끼고 있는 변들의 길이 비율이 같다.

그러므로 삼각형 \(\rm EBC\), 삼각형 \(\rm LGH\)의 대응하는 각들의 크기가 같다. [VI권 명제 6]

그러므로 삼각형 \(\rm EBC\)와 삼각형 \(\rm LGH\)는 닮음이다. [VI권 명제 4, 정의 1]

같은 논리로, 삼각형 \(\rm ECD\)와 삼각형 \(\rm LHK\)도 닮음이다.

그러므로 두 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)을 같은 개수의 닮음 삼각형으로 나누었다.

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이제 나누어진 삼각형들의 넓이의 비율이 같음을 보이자. 즉, 바꾸어 말하면 다각형 ABCDE을 삼각형 \(\rm ABE\), 삼각형 \(\rm EBC\), 삼각형 \(\rm ECD\) 세 개로 나누었고, 다각형 \(\rm FGHKL\)는 삼각형 \(\rm FGL\), 삼각형 \(\rm LGH\), 삼각형 \(\rm LHK\) 세 개로 나누었다. (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)=(삼각형 \(\rm EBC\) 널비)\(:\)(삼각형 \(\rm LGH\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ECD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm LHK\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm ABCDE\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm FGHKL\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2:\overline{\rm FG}^2\)임을 보이자.

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선분 \(\rm AC\), \(\rm FH\)를 그리자.

두 다각형이 닮음이므로 \(\rm\angle ABC=\angle FGH\)이며, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GH}\)이어서 삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm FGJH\)의 대응하는 각들의 크기가 같다. [VI권 명제 6] 그러므로 \(\rm \angle BAC=\angle GFH\)이고 \(\rm\angle BCA=\angle GHF\)이다

그리고 \(\rm\angle BAM=\angle GFN\)이고, \(\rm\angle ABM=\angle FGN\)이므로 나머지 각 \(\rm AMB\), 각 \(\rm FNG\)의 크기도 \(\rm\angle AMB=\angle FNG\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 두 삼각형 \(\rm ABM\)과 삼각형 \(\rm FGN\)의 대응하는 각들의 크기가 같다.

같은 논리로 두 삼각형 \(\rm BMC\)와 \(\rm GNH\)의 대응하는 각들의 크기가 같다.

그러므로 \(\overline{\rm AM}:\overline{\rm MB}=\overline{\rm FN}:\overline{\rm NG}\)이며, \(\overline{\rm BM}:\overline{\rm MC}=\overline{\rm GN}:\overline{\rm NH}\)이므로 \(\overline{\rm AM}:\overline{\rm MC}=\overline{\rm FN}:\overline{\rm NH}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AM}:\overline{\rm MC}=\)(삼각형 \(\rm ABM\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm MBC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm AME\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm EMC\) 넓이)이다. 왜냐하면 넓이의 비율은 밑변의 길이의 비율과 같기 때문이다. [VI권 명제 1]

그러므로 한 전자와 한 후자의 비율은 전자들을 더한 것과 후자들을 더한 것과의 비율과 같다. [V권 명제 12] 그러므로 (삼각형 \(\rm AMB\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BMC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ABM\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm AME\) 넓이))\(:\)((삼각형 \(\rm MBC\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm EMC\) 넓이))\(=\)(삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm CBE\) 넓이)이다.

그런데 (삼각형 \(\rm AMB\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BMC\) 넓이)\(=\overline{\rm AM}:\overline{\rm MC}\)이다 그러므로 \(\overline{\rm AM}:\overline{\rm MC}=\)(삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)이다. [V권 명제 11]

같은 이유로 \(\overline{\rm FN}:\overline{\rm NH}=\)(삼가형 \(\rm FGL\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm GLH\) 넓이)이다.

\(\overline{\rm AM}:\overline{\rm MC}=\overline{\rm FN}:\overline{\rm NH}\)이므로 (삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BEC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm GLH\) 넓이)이다. 비례식을 바꾸면 (삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm BEC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm GLH\) 넓이)이다. [V권 명제 11, VI권 명제 16]

같은 방법으로 선분 \(\rm BD\), \(\rm GK\)를 그리면 (삼각형 \(\rm BEC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm GLH\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ECD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm LHK\) 넓이)임을 증명할 수 있다.

그리고 (삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm LGH\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ECD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm LHK\) 넓이)이다. 그러므로 한 전자와 후자의 비율은 전자들을 더한 것과 후자들을 더한 것과의 비율과 같다. [V권 명제 12] 그러므로 (삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)=((삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm ECD\) 넓이))\(:\)((삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm LGH\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm LHK\) 넓이))\(=\)(다각형 \(\rm ABCDE\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm FGHKL\) 넓이)이다.

그런데 두 삼각형 \(\rm ABE\)의 변 \(\rm AB\)의 삼각형 \(\rm FGL\)의 대응하는 변은 \(\rm FG\)이므로 (삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm FGL\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2:\overline{\rm FG}^2\)이다. 왜냐하면, 닮음 삼각형의 넓이의 비율은 대응하는 변의 길이의 제곱비율이기 때문이다. [VI권 명제 19]

그러므로 다각형 \(\rm ABCDE\)의 변 \(\rm AB\)의 다각형 \(\rm FGHKL\)의 대응하는 변이 \(\rm FG\)이므로 (다각형 \(\rm ABCDE\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm FGHKL\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2:\overline{\rm FG}^2\)이다. [V권 명제 6]

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그러므로 닮음 다각형들은 닮음 삼각형들로 쪼갤 수 있으며, 그 삼각형들의 개수는 같으며, 삼각형들의 넓이 비율은 전체 도형의 넓이 비율과 같다. 따라서 다각형들의 넓이 비율은 대응하는 변들의 제곱의 비율이다.

Q.E.D.