VI 권
명제
높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다. 또 높이가 같은 두 평행사변형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ACD\)의 높이가 같다. 그러면 \(S\left(\triangle\rm ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)이다. 또한 두 평행사변형 \(\rm EBCA\), \(\rm ACDF\)의 높이가 같다. 그러면 \(S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)이다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ACD\)의 높이가 같고, 또한 두 평행사변형 \(\rm EBCA\), \(\rm ACDF\)의 높이가 같다.
그러면 \(S\left(\triangle\rm ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)인 것과 \(S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)임을 보이자.
선분 \(\rm BD\)를 양쪽으로 길게 늘여서 선분 \(\rm HL\)을 그리자. \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BG}=\overline{\rm GH}\)인 점 \(\rm G\)를 잡자.
\(\overline{\rm CD}=\overline{\rm DK}=\overline{\rm KL}\)인 점 \(\rm K\)를 잡자. 선분 \(\rm AG\), \(\rm AH\), \(\rm AK\), \(\rm AL\)을 그리자. [I권 명제 3]
그러면 \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm BG}=\overline{\rm GH}\)이므로, \(S\left(\triangle{\rm ACB}\right)=S\left(\triangle{\rm AGB}\right)=S\left(\triangle{\rm AGH}\right)\)이다. [I권 명제 38]
그러므로 임의의 자연수 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm HC}=n\overline{\rm BC}\)이면 \(S\left(\triangle\rm AHC\right)=n S\left(\triangle\rm ABC\right)\)이다.
같은 이유로, 임의의 자연수 \(m\)에 대하여, \(\overline{\rm LC}=m \overline{\rm CD}\)이면 \(S\left(\triangle\rm ALC\right)=m S\left(\triangle\rm ACD\right)\)이다. 만약 \(\overline{\rm HC}>= < \overline{\rm CL}\)이면 \(S\left(\triangle\rm AHC\right) >=< S\left(\triangle\rm ACL\right)\)이다. [I권 명제 38]
그러므로 두 밑변 \(\rm BC\), \(\rm CD\)와 두 삼각형 \(\rm ABC\) 넓이, \(\rm ACD\)의 넓이에 대하여 \(\overline{\rm HC}=n\overline{\rm BC}\), \(S\left(\triangle\rm AHC\right)=n S\left(\triangle\rm ABC\right)\)이고, \(\overline{\rm LC}=m \overline{\rm CD}\), \(S\left(\triangle\rm ALC\right)=m S\left(\triangle\rm ACD\right)\)이다. 그런데 \(\overline{\rm HC}>= < \overline{\rm CL}\)이면 \(\overline{\rm HC} > = < \overline{\rm CL}\)이면 \(S\left(\triangle\rm AHC\right)>=< S\left(\triangle\rm ACL\right)\)임을 보였다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=S\left(\triangle\rm ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)\)이다. [V권 명제 5]
그 다음으로, \(S\left(⏥\rm EBCA\right)=2S\left(\triangle\rm ABC\right)\)이다. [I권 명제 41] 그리고 \(S\left(⏥\rm ACDF\right)=2S\left(\triangle\rm ACD\right)\)이다. 그런데 \(S\left(\triangle\rm ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)=S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)\)이다. [V권 명제 15]
그런데 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=S\left(\triangle ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)\)임을 보였다. 그리고 \(S\left(\triangle\rm ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)=S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)\)이므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)\)이다. [V권 명제 11]
그러므로 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다. 또 높이가 같은 두 평행사변형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다.
Q.E.D.
명제에서 보다 적절한 설정은, 같은 높이를 가지는 삼각형은 공통변을 갖지 않을 것이고, 평행사변형은 삼각형과 공통 밑변 및 변을 갖지 않을 것이다. 같은 밑변 과 같은 평행선에 있는 삼각형은 같기 때문에([I권 명제 36]), 같은 밑변과 같은 평행선에 있는 평행사변형은 같기 때문에( [I권 명제 35]), 등호는 비율로 대체될 수 있으므로([V권 명제 7]), 유클리드의 간단한 설정으로 충분하다. 그럼에도 불구하고 적절한 설정에는 더 복잡한 증명이 필요하지 않다.
\(\overline{\rm CB}:\overline{\rm CD}=S\left(\triangle\rm ACB\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)=S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)\)의 세 가지 비율이 모두 동일하다는 것을 증명하는 것이다.
첫 번째 증명으로 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm CD}=S\left(\triangle\rm ACB\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)\)을 보이자. 비율의 정의 [V권 정의 5]에 의해서 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(m \overline{\rm BC} >=< n \overline{\rm CD}\)이면 \(m S\left(\triangle\rm ABC\right) >= < S\left(\triangle\rm ACD\right)\)이다. 이다.
\(\overline{\rm CH}=m\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CL}=n\overline{\rm CD}\)이고, \(S\left(\triangle\rm ACH\right)=mS\left(\triangle\rm ABC\right)\), \(S \left(\triangle\rm ACL\right)=nS\left(\triangle\rm ACD\right)\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CH}>=< \overline{\rm CL}\)이면 \(S\left(\triangle\rm ACH\right)>=< S\left(\triangle\rm ACL\right)\) 이다.
이것은 [I권 명제 38]에 의해서 삼각형에 대한 것이 증명되었다.
평행사변형에 대한 것의 증명은 쉽다. 평행사변형은 삼각형의 두 배이므로 그것은 같은 비율은 같다.
기본적인 비율을 나타내는 다른 명제들은 증명에 동일한 과정으로 증명한다. 예를 들면 다음과 같다. [VI권 명제 33]: 원의 호는 중심각에 비례하고, [XI권 명제 25]: 평행육면체의 넓이는 밑변에 비례하며, [XI권 명제 13]: 원기둥은 회전축의 높이에 비례한다.
이 명제는 원론에서 가장 많이 사용되는 명제 중 하나이다. 다음 명제부터 시작하여 VI 권에서 자주 사용되며, X 권에서 아주 많이 사용되고, XI권과 제 XII권에서는 약간 사용된다.