증명

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두 삼각형 \(\rm ABC\), 삼각형 \(\rm DEF\)는 닮음이라고 하자. 즉, \(\rm\angle B=\angle E\), \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이라 하자. 그러므로 두 변 \(\rm BC\), 변 \(\rm EF\)는 대응하는 변이다. [V권 정의 11]

그러면 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이) \(:\) (삼각형 \(\rm DEF\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm BC}^2:\overline{\rm EF}^2\)임을 보이자.

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두 변 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm BG}\)에 비례 하도록 선분 \(\rm BF\)를 잡자. 그리고 선분 \(\rm AG\)를 그리자. [VI권 명제 11]

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이므로, 바꾼 비례식에 따라서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}\)이다. [V권 명제 16]

그런데 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm BG}\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm BG}\)이다. [V권 명제 11]

그러므로 두 삼각형 \(\rm ABG\), \(\rm DEF\)에서 같은 크기의 각을 끼고 있는 즉, 대응하는 각을 기고 있는 변들은 역으로 비례한다.

그런데 두 삼각형이 한 각의 크기가 서로 같으면 크기가 같은 각을 끼고 있는 변들이 역으로 비례하면 두 삼각형의 넓이가 같다. [VI권 명제 15] 그러므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DEF\) 넓이)이다.

\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm BG}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm BG}=\overline{\rm EF}^2\)이다. 세 선분이 서로 비례하면 첫 번째 선분과 세 번째 선분의 비율은 첫 번째 선분과 두 번째 선분의 제곱의 비율과 같다.[V권 정의 9] 그러므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm BG}=\overline{\rm BC}^2:\overline{\rm EF}^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm BG}=\)(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm ABG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1]

그런데 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm ABG\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}^2:\overline{\rm EF}^2\)이다. [V권 명제 11]

그런데 (삼각형 \(\rm ABG\) 넓이) \(=\) (삼각형 \(\rm DEF\) 넓이)이다.

그러므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm DEF\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}^2:\overline{\rm EF}^2\)이다.

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그러므로 닮음인 두 삼각형의 넓이의 비율은 변의 길이의 제곱 비율이다.

Q.E.D.