증명

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주어진 다각형 \(\rm CDEF\)와 선분 \(\rm AB\)이 있다.

그러면 선분 \(\rm AB\) 위에 다각형 \(\rm CDEF\)와 닮은꼴 다각형 \(\rm ABHG\)를 같은 방향에 작도를 할 수 있음을 보이자.

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선분 \(\rm DF\)를 그리자. 선분 \(\rm AB\)의 끝 점 \(\rm A\)에서 \(\rm \angle GAB=\angle C\)인 각 \(\rm GAB\)를 그리자.

끝점 \(\rm B\)에서 \(\rm \angle ABG=\angle CDF\)인 각 \(\rm ABG\)를 그리자. [I권 명제 23]

그러면 나머지 두 각 \(\rm CFD\)와 각 \(\rm AGB\)는 \(\rm \angle CFD=\angle AGB\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 삼각형 \(\rm FCD\)와 삼각형 \(\rm GAB\)는 대응하는 각들의 크기가 각각 같다.

그러므로 \(\overline{\rm FD}:\overline{\rm GB}=\overline{\rm FC}:\overline{\rm GA}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm AB}\)이다. [VI권 명제 4, V권 명제 16]

선분 \(\rm BG\)의 끝 점 B에서 \(\rm \angle GBH=\angle FDE\)인 각 \(\rm GBH\)를 그리고, 끝 점 \(\rm G\)에서 \(\rm \angle BGH=\angle DFE\)인 각 \(\rm BGH\)를 그리자. [I권 명제 23]

그러면 나머지 각 \(\rm E\)와 각 \(\rm H\)는 \(\rm \angle E=\angle H\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 삼각형 \(\rm FDE\)는 삼각형 \(\rm GBH\)와 대응하는 각들의 크기가 각각 같다.

그러므로 \(\overline{\rm FD}:\overline{\rm GB}=\overline{\rm FE}:\overline{\rm GH}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm HB}\)이다. [VI권 명제 4, V권 명제 16]

그런데 \(\overline{\rm FD}:\overline{\rm GB}=\overline{\rm FC}:\overline{\rm GA}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm AB}\)이므로 \(\overline{\rm FC}:\overline{\rm GA}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm AB}\)이고, 또한 \(\overline{\rm FC}:\overline{\rm GA}=\overline{\rm FE}:\overline{\rm GH}\)이고, \(\overline{\rm FC}:\overline{\rm GA}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm HB}\)이다. [V권 명제 11]

\(\rm\angle CFD=\angle AGB\), \(\rm\angle DFE=\angle BGH\)이므로 \(\rm\angle CFE=\angle AGH\)이다.

그러므로 같은 이유로 \(\rm\angle CDE=\angle ABH\)이다.

\(\rm\angle C=\angle A\)이고 \(\angle E=\angle H\)이다.

그러므로 다각형 \(\rm ABHG\)는 다각형 \(\rm CDEF\)와 각들의 크기가 같으며, 같은 각을 끼고 있는 번들의 길이가 비례 한다.

그러므로 다각형 \(\rm ABHG\)와 다각형 \(\rm CDEF\)는 닮음꼴이다. [VI권 정의 1]

그러므로 선분 \(\rm AB\) 위에 주어진 다각형 \(\rm CDEF\)와 닮은꼴 다각형 \(\rm ABHG\)를 같은 방향에 작도하였다.

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그러므로 주어진 어떤 다각형과 어떤 선분에 대하여, 그 선분 위에 주어진 어떤 다각형과 닮은꼴 다각형을 같은 방향에 작도할 수 있다.

Q.E.D.