VI 권
명제
세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a:b=b:c\)이라고 하자. 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같다. 또한 세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같으면 \(a:b=b:c\)이다.
세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a:b=b:c\)이라고 하자. 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같다. 즉, \(ac=b^2\)이다. 또한 세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같으면, 즉, \(ac=b^2\)이면 \(a:b=b:c\)이다.
1) 세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a:b=b:c\)이라고 하자.
그러면 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형 넓이가 같음을 보이자. 즉, \(ac=b^2\)임을 보이자.
\(d=b\)가 되도록 길이 \(d\)인 선분을 그리자. [I권 명제 3]
\(a:b=b:c\)이고 \(b=d\)이므로 \(a:b=d:c\)이다. [V권 명제 7, 명제 11]
\(a:b=d:c\)이면 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이는 두 변의 길이가 \(b\), \(d\)인 직사각형 넓이가 같다. [VI권 명제 16]
그러므로 \(ac=bd\)이다. 또한 \(d=b\)이므로 \(ac=b^2\)이다. 따라서 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이는 한 변의 길이가 \(b\)인 정삭가형의 넓이와 같다.
2) 세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형 넓이가 같다. 즉, \(ac=b^2\)이다.
그러면 \(a:b=b:c\)임을 보이자.
같은 방법으로 세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(ac=b^2\)인 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형과 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형을 작도하자. 또한 \(d=b\)가 되도록 길이 d인 선분을 그리자. \(ac=db\)이다. 즉, 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이는 두 변의 길이가 \(b\), \(d\)인 직사각형 넓이와 같다.
그런데 네 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(d\), \(c\)가 \(ac=db\)이다. 그러므로 \(a:b=d:c\)이다. [VI권 명제 16] 그런데 \(b=d\)이므로 \(a:b=b:c\)이다.
그러므로 세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a:b=b:c\)이라고 하자. 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 b인 정사각형의 넓이가 같다. 또한 세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 b인 정사각형의 넓이가 같으면 \(a:b=b:c\)이다.
Q.E.D.
이 명제는 분명히 이전 명제의 특별한 경우이다. 이 명제는 [X권]와 [XIII권]에서 매우 자주 사용된다.