VI 권
명제
주어진 두 직선의 길이의 비례 중항(기하 평균)인 길이를 갖는 선분을 그릴 수 있다.
주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 비례 중항(기하 평균)인 길이를 갖는 선분을 그릴 수 있다.
주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)가 있다.
그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 비례 중항(기하 평균)인 길이를 갖는 선분을 그릴 수 있음을 보이자.
주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 한 선분 \(\rm AC\)위에 놓자. 선분 \(\rm AC\)를 지름으로 하는 반원 \(\rm ADC\)를 그리자. 점 \(\rm B\)에서 선분 \(\rm AC\)에 수직인 선분 \(\rm BD\)를 그리자. 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DC\)를 그리자. [I권 명제 11]
그러면 각 \(\rm ADC\)는 반원의 내부원주각이므로 \(\rm\angle ADC=90^\circ\)이다. [III권 명제 31]
삼각형 \(\rm ADC\)의 직각인 꼭짓점 \(\rm D\)에서 밑변 \(\rm AC\)에 수직으로 내린 선분이 \(\rm DB\)이므로 \(\overline{\rm DB}^2=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이다. [VI권 명제 8 따름 정리]
그러므로 \(\overline{\rm DB}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 비례 중항(기하 평균)이다.
그러므로 주어진 두 직선의 길이의 비례 중항(기하 평균)인 길이를 갖는 선분을 그릴 수 있다.
Q.E.D.
비례 중항의 작도는 이전에 [II권 명제 4]에서 주어진 직사각형과 동일한 정사각형을 찾는데 사용되었다. [VI권 명제 17]과 이 명제의 작도는 동일하다. 즉, 두 선분의 비례 중항은 두 선분을 가로와 세로로 하는 직사각형과 동일한 정사각형의 한 변이다. 대수적으로 \(a : x = x : b\)이고 이를 간단히 하면 \(ab = x^2\)이며 이를 풀면 \(x=\sqrt{ab}\)이다. \(a\)와 \(b\) 사이에 비례하는 이 평균 \(x\)를 \(a\)와 \(b\)의 기하 평균이라고도 한다.
만약 \(b=1\)이면 \(\sqrt{a}\)의 작도도 할 수 있다.
이 작도는 [VI권 명제 25], [VI권 명제 27], [X권 명제 28]의 증명에서 사용된다.