증명

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길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분이 있다.

그러면 \(a:b=c:\overline{\rm HF}\)인 선분 \(\rm HF\)를 그릴 수 있음을 보이자.

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두 반직선 \(\rm DE\), \(\rm DF\)로 임의의 어떤 각의 크기를 갖는 각 \(\rm EDF\)를 작도하자. [I권 명제 3] \(\overline{\rm DE}=a\), \(\overline{\rm GE}=b\), \(\overline{\rm DH}=c\)가 되로록 하자. 선분 \(\rm GH\)를 그리고, 점 \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm GH\)에 평행한 선분 \(\rm EF\)를 그리자. [I권 명제 31]

그러면 선분 \(\rm GH\)는 삼각형 \(\rm DEF\)의 한 변인 변 \(\rm EF\)와 평행이기 때문에, \(\overline{\rm DG}:\overline{\rm GE}=\overline{\rm DH}:\overline{\rm HF}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm DG}=a\), \(\overline{\rm GE}=b\), \(\overline{\rm DH}=c\)이므로 \(a:b=c:\overline{\rm HF}\)이다. [V권 명제 7]

따라서 \(a:b=c:\overline{\rm HF}\)를 만족하는 네 번째 선분 \(\rm HF\)를 그렸다.

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그러므로 주어진 세 선분에 대하여, 첫 번째 선분과 두 번째 선분의 비율과 세 번째 선분과 네 번째 선분의 비율이 같은 네 번째 선분을 그릴 수 있다.

Q.E.D.