증명

---

주어진 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)으로 임의의 각을 작도하자.

그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CE}\)인 선분 \(\rm CE\)를 그릴 수 있음을 보여야 한다.

---

\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}\)가 되도록 각각 두 반직선 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm D\), \(\rm E\)를 잡자. [I권 명제 3] 선분 \(\rm BC\)를 그리고, 점 \(\rm D\)를 지나고 \(\rm BC\)에 평행하게 선분 \(\rm DE\)를 그리자. [I권 명제 31]

그러므로 선분 \(\rm BC\)과 삼각형 \(\rm ADE\)의 선분 \(\rm DE\)에 평행하므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CE}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CE}\)이다. [V권 명제 7]

그러므로 주어진 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CE}\)인 선분 \(\rm CE\)를 그릴 수 있다.

---

그러므로 주어진 두 선분에 대하여, 두 선분 비례하는 중복 비율이 성립하는 세 번째 선분을 그릴 수 있다.

Q.E.D.