증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)는 자르지 않은 선분이고, 주어진 선분 \(\rm AC\)는 그 내부 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에서 잘려져 있다고 하자.

그러면 선분 \(\rm AB\)를 주어진 선분 \(\rm AC\)가 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에 의해 잘려진 선분 길이의 비율 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GB}\)이고, \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm AF}:\overline{\rm FG}\)인 선분 \(\rm AB\) 내부에 점 \(\rm F\), \(\rm G\)를 잡을 수 있을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm AC\)로 어떤 각이라도 되니 임의의 각을 만들자.

선분 \(\rm CB\)를 그리고, 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm F\), \(\rm G\)에 대하여 점 \(\rm D\), \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm CB\)에 평행한 선분 \(\rm DF\), \(\rm EG\)를 그리자. 그리고 점 \(\rm D\)를 지나고 선분 \(\rm AB\)에 평행한 선분 \(\rm DHK\)를 그리자. 두 선분 \(\rm DK\), \(\rm EG\)의 교점을 \(\rm H\)라 하자. [I권 명제 31]

따라서, 사각형 \(\rm DFGH\)와 사각형 \(\rm HGBK\)는 모두 평행사변형이다. [I권 명제 34]

그러므로 \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm FG}\)이고 \(\overline{\rm HK}=\overline{\rm GB}\)이다.

삼각형 \(\rm DCK\)에서 선분 \(\rm EH\)는 선분 \(\rm CK\)에 평행하기 때문에, 비례 성질에 의해서 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EC}=\overline{\rm DH}:\overline{\rm HK}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm FG}\)이고 \(\overline{\rm HK}=\overline{\rm GB}\)이다. 따라서 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GB}\)이다. [V권 명제 7]

다시, 삼각형 \(\rm AEG\)에서 선분 \(\rm DF\)가 선분 \(\rm EG\)에 평행하기 때문에, 비례 성질에 의해서, \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm AF}:\overline{\rm FG}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GB}\)를 보였다. 그러므로 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GB}\)이고, \(\overline{\rm AD}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm AF}:\overline{\rm FG}\)이다.

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그러므로 주어진 선분 \(\rm AB\)는 자르지 않은 선분이고, 주어진 선분 \(\rm AC\)의 내부 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에 의해 잘린 선분 길이의 비율만큼 선분 \(\rm AB\)도 자를 수 있다.

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그러므로 자르지 않은 주어진 한 선분과 여러 개의 선분으로 잘려져 있는 선분에 대하여, 주어진 않은 자르지 한 선분을 여러 개의 선분으로 잘려진 선분과 같은 비율로 자를 수 있다.

Q.E.D.