부연설명

유클리드 원론에서는 “각 크기가 서로 같고, 변의 길이가 비례하는 두 다각형을 닮은꼴 다각형이라고 한다.”라고 되어 있어 이러한 정의는 전체 의도가 완전히 표현되지는 않는다. 유사성 개념이 연속적인 꼭짓점과 변의 특정한 대응을 가정해야 완벽해진다.

두 개의 오각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHIJ\)가 닮음 도형이 되기 위해서는 아래 두 조건을 만족하여야 한다.

(조건 1) 두 점의 대응 기호로 \(\leftrightarrow\)을 사용하자. \(\rm A \leftrightarrow F\), \(\rm B \leftrightarrow G\), \(\rm C\leftrightarrow H\), \(\rm D\leftrightarrow I\), \(\rm E\leftrightarrow J\)이다.

(조건 2) \(\rm\angle A=\angle F\), \(\rm\angle B=\angle G\), \(\rm\angle C=\angle H\), \(\rm\angle D=\angle I\), \(\rm\angle E=\angle J\)이며, 각 각을 이루는 변들의 비가 아래와 같이 비례해야 한다.

\(\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}=\overline{\rm JF}:\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm FG}:\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm GH}:\overline{\rm HI}\), \(\overline{\rm CD}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm HI}:\overline{\rm IJ}\), \(\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}=\overline{\rm IJ}:\overline{\rm JF}\)

예를 들어, 한 도형의 각이 다른 도형의 각과 같지만 임의의 순서로 있는 경우에는 닮은 도형이라고 하지 않는다. 그리고 비율에서 항의 순서가 재배치되거나 반대 순서로 되어 있는 도형들도 닮은 도형이라고 하지 않는다. 예를 들어 두 번째 비율은 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm GH}:\overline{\rm FG}\)가 되어서는 안 된다.

[VI권 명제 4]와 [VI권 명제 5]는 두 삼각형이 닮은 도형이 될 두 가지 기준을 제시한다. [VI권 명제 4]는 (조건 1)이 닮음을 의미하는 반면 [VI권 명제 5]는 (조건 2)가 닮음을 의미한다. [VI권 명제 6]은 변-각-변 닮음 정리이고 [VI권 명제 7]은 변-변-각 닮음 정리이다.