V 권
명제
두 개의 크기가 어떤 크기에 대해서 비율이 같으면 두 개의 크기가 같다. 또한 어떤 크기가 두 개의 크기에 대한 비율이 같으면 두 개의 크기는 같다.
두 크기 \(a\), \(b\)는 임의의 크기 \(c\)에 대하여 \(a:c=b:c\)이면 \(a=b\)이다. 또한 \(c:a=c:b\)이면 \(a=b\)이다.
두 개의 크기 \(a\), \(b\)가 임의의 크기 \(c\)에 대하여 \(a:c=b:c\)라고 하자.
그러면 \(a=b\)를 보이자.
결론을 부정하자 \(a\ne b\)라고 하자. 그러면 \(a:c\ne b:c\)이다. [V권 명제 8] 그런데 가정에서 \(a:c=b:c\)이다. 이것은 있을 수 없다. 따라서 \(a=b\)이다.
다음으로 두 개의 크기 \(a\), \(b\)가 임의의 크기 \(c\)에 대하여 \(c:a=c:b\)라고 하자.
그러면 \(a=b\)를 보이자.
결론을 부정하자. \(a\ne b\)라고 하자. 그러면 \(c:a\ne c:b\)이다. [V권 명제 8] 그런데 가정에서 \(c:a=c:b\)이다. 이것은 있을 수 없다. 따라서 \(a=b\)이다.
그러므로 두 개의 크기가 어떤 크기에 대해서 비율이 같으면 두 개의 크기가 같다. 또한 어떤 크기가 두 개의 크기에 대한 비율이 같으면 두 개의 크기는 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 명제 7]의 역이다.
앞의 명제 외에도 증명은 비율에 대한 삼중률의 법칙에 의존한다. \(a : b < a : c\) 및 \(a : b = a : c\)가 동시에 발생할 수 없다는 부분이다. 유클리드가 이를 증명을 하지는 않았지만 [V권 정의 5] 및 [V권 정의 7]의 정의로 부터 쉽게 유도된다.
이 명제는 이전 명제에서 사용한 [V권 정의 4]를 비교 가능성의 공리로 사용하는 것에 필요하다. \(a= c + y\)이고 \(b= c + 2y\)일 때 명제의 진술이 거짓이기 때문에 공리가 필요하다. 여기서 \(y= c\)의 무한소이다.
이 명제는 VI권, VII권, X권, XI권, XII권에서 기하학적 크기의 상등(같다는 것)을 보이는데 가끔 사용된다.