V 권
명제
크기가 다른 크기와 어떤 크기가 있다. 큰 것과 어떤 크기와의 비율은 작은 것과 어떤 크기와의 비율보다 더 크다. 또한 어떤 크기와의 작은 것에 대한 비율은 어떤 크기와 큰 것의 비율보다 더 크다.
크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}>c\)이면 \(\overline{\rm AB}:d > c:d\)이고, \(d:\overline{\rm AB} < d:c\)이다.
\(\overline{\rm AB}>c\)이므로 \(\overline{\rm EB}=c\)인 점\(\rm E\)를 잡자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EB}\)중 작은 것에 어떤 수 \(p\)를 곱하여 \(d\) 보다 크게 할 수 있다. (즉, \(\overline{\rm AE}< \overline{\rm EB}\)이면 \(p\cdot\overline{\rm AE}>d\) 또는 \(\overline{\rm EB}< \overline{\rm AE}\)이면 \(p\cdot\overline{\rm EB}>d\)인 어떤 수 \(p\)가 존재한다.) [V권 정의 4]
그러면 \(\overline{\rm AB}:d>c:d\)와 \(d:c>d:\overline{\rm AB}\)임을 보이자.
1) \(\overline{\rm AE} < \overline{\rm EB}\)라 하자.
\(\overline{\rm FG}=p\cdot\overline{\rm AE}\)이고, \(\overline{\rm FG}>d\)인 선분 \(\rm FG\)를 그리자. \(p\)에 상관없이 선분 \(\rm GH\)는 \(\overline{\rm GH}=p\cdot\overline{\rm EB}\)이라 하자. \(k=p\cdot c\)라 하자.
\(l=2d\), \(m=3d\), \(\cdots\)이런 식으로 계속해서 \(d\)의 배수를 하여 \(k\) 보다 클때까지 계속하자. [V권 명제 4]
처음으로 \(k\)보다 큰 크기를 \(n\)이라 하자. 그러면 \(n=q\cdot d>k\)인 \(q\)가 존재한다. 그러면 \(k>m\)이다.
같은 크기 \(p\)에 대하여, \(\frac{\overline{\rm FG}}{\overline{\rm AE}}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm EB}}=p\)이므로 \(\frac{\overline{\rm FG}}{\overline{\rm AE}}=\frac{\overline{\rm FH}}{\overline{\rm AB}}=p\)이다. [V권 명제 1]
\(\frac{\overline{\rm FG}}{\overline{\rm AE}}=\frac{k}{c}=p\)이므로 \(\frac{\overline{\rm FH}}{\overline{\rm AB}}=\frac{k}{c}\)이다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm FH}}{\overline{\rm EB}}=\frac{k}{c}\)이고, \(\overline{\rm EB}=c\)이므로 \(\overline{\rm GH}=k\)이다.
그런데 \(k>m\)이므로 \(\overline{\rm GH}>m\)이다.
\(\overline{\rm FG}>d\)이므로 \(\overline{\rm FH}>d+m\)이다.
그런데 \(m=(q-1)\cdot d\)이므로 \(n=q\cdot d=d+m\)이다. 따라서 \(d+m=n\)이다.
그런데 \(\overline{\rm FH}>m+d\)이므로 \(\overline{\rm FH}>n\)이다. 그런데 \(k < n\)이다.
\(\overline{\rm FH}=p\cdot \overline{\rm AB}\), \(k=p\cdot c\)이고, \(n=q\cdot d\)이므로 \(\overline{\rm FH}=p\cdot \overline{\rm AB}>q\cdot d=n\), \(k=p\cdot c< q \cdot d=n\)이다. 따라서 \(\overline{\rm AB}:d>c:d\)이다. [V권 정의 7]
다음으로 \(d:c>d:\overline{\rm AB}\)임을 보이자. 마찬가지 방법으로 작도를 하자. \(n>k\), \(n< \overline{\rm FH}\)이 되도록 선분 \(\rm FH\)를 작도를 할 수 있다.
\(n=r\cdot d\)인 크기 \(r\)이 존재한다. \(\overline{\rm FH}=p\cdot \overline{\rm AB}\), \(k=p\cdot c\)이다. 그러므로 \(d:c>d:\overline{\rm AB}\)이다. [V권 정의 7]
2) \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm EB}\)이라 하자.
\(\overline{\rm EB}\cdot s>d\)인 크기 \(s\)가 존재한다. [V권 정의 4]
어떤 \(t\)에 대하여 \(\overline{\rm GH}=t\cdot \overline{\rm EB}\)인 선분 \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm GH}>d\)이라고 하자.
\(\overline{\rm GH}=t\cdot \overline{\rm EB}\)인 같은 \(t\)에 대하여 \(\overline{\rm F}G=t\cdot \overline{\rm AE}\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm FH}:\overline{\rm AB}=k:c\)이다. 또한 \(n=q\cdot d>FG\)이라고 하면 \(\overline{\rm FG}>m\)이다.
그런데 \(\overline{\rm GH}>d\)이므로 \(\overline{\rm FH}>d+m=n\), \(\overline{\rm FH}>n\)이다.
\(n>\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GH} < \overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GH}=k\)이므로 \(k< n\)이다. 그러므로 같은 방법으로 증명을 완성할 수 있다.
그러므로 크기가 다른 크기와 어떤 크기가 있다. 큰 것과 어떤 크기와의 비율은 작은 것과 어떤 크기와의 비율보다 더 크다. 또한 어떤 크기와의 작은 것에 대한 비율은 어떤 크기와 큰 것의 비율보다 더 크다.
Q.E.D.
이 명제의 진술은 이해하기 쉽지만, 그 증명은 어렵다. \(x > y\)이면 \(x : z > y : z\) 또는 \(z : x < z : y\)이다. 이 명제의 역은 [V권 명제 10]이다.
[V권 정의 4]의 네 개의 중요한 점은 정의보다는 비교가능성의 공리로 사용된다. 첫 번째 경우로:
\(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EB}\) 중 더 작은 크기에 어떤 수를 계속해서 곱하면 결국 d보다 커진다.
사실, 이 명제는 무한소가 허용되면 거짓이기 때문에 비교 가능성의 공리가 필요하다.
\(y\)가 \(x\)에 대해 극소값일 때, 명제의 첫 번째 진술 \(x > x - y\)이면 \(x : x > (x - y):x\)이 성립하지 않으며, 두 번째 진술 \(x + y > x\)이면 \(x : x > x:(x + y)\) 또한 성립하지 않는다.
현대 대수 표기법을 사용하면 전체 구조가 명확해지기 때문에 증명이 약간 더 이해하기 쉽다. 유클리드 증명의 모든 크기는 문자로 표시되고 선분으로 표시된다. 대수적 표기법으로, 우리는 공식으로 크기를 나타낼 수 있다. 예를 들어, \(a= \overline{\rm AB}\)로 하고 \(c=\rm C\)로 하면 \(a - c= \overline{\rm AE}\)에 사용할 수 있기 때문에 변수의 수가 줄어들고 이해가 쉬워진다. 유클리드가 \(n= 4d\)로 표현한 것처럼 특정 숫자를 선택할 필요 없이 숫자에 대한 변수도 가질 수 있다.
그러나 대수학도 많은 것을 모호하게 합니다. 유클리드는 이 증명에 사용된 [V권 명제 1]에서 크기의 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙을 증명했다. 대수식을 거의 자동으로 조작한다. 유클리드만큼 정확하려면 대수학의 규칙을 확인하고 사용할 때 인식해야 한다.
"\(a>c\) 이면 \(a:d>d:d\)이지만 \(d:c>d:a\)이다."를 증명하자.
\(a>c\)이면 \(a-c< c\) 또는 \(a-c>c\) 또는 \(a-c=c\)중 하나를 만족한다.(삼중론)
경우1: \(a-c< c\)라 하자. 수 \(m^*\)에 대하여 \(m^*(a-c)>d\)라 하자.
\(n^*d>m^*c\)인 가장 작은 수라고 하자. [\(n=1\)일 때는 유클리드 증명에 어떠한 일이 일어나는가?]
\(m^*c>(n^*-1)d\), \(m^*(a-c)>d\)이므로 \(m^*a>n^*d\)이다. 변변끼리 더하면 \(m^*a>n^*d\)이다. 그러나 (m^*c< n^*d\)이다. 그러므로 \(a:d>c:d\)이다.
\(n^*d>m^*c\) 이지만 \(n^*d< m^*a\)이다. 그러므로 \(d:c>d:a\)이다.
경우 2: \(c < a-c\)이라 가정하자. 수 \(m^*\)에 대하여 \(m^*c>d\)라 하자.
\(n^*\)를 \(n^*d>m^*(a-c)\)인 가장 작은 수라고 하자.
\(m^*(a-c)> (n^*-1)d\), \(m^*c>d\)이므로 양변을 더하면 \(m^*a>n^*d\)이다.
(유클리드는 같은 방법으로 증명하면 된다고 남겨놓았다. 즉, \(a-c>c\)이므로 \(m^*(a-c)>m^*c\)이다. 그러나 \(n^*d>m^*(a-c)\)이므로 \(n^*d>m^*c\)이다. 그러나 \(m^*a>n^*d\)이므로 \(a:d>d:a\))이다.
\(m^*d>m^*c\)이지만 \(n^*d< m^*a\)이다.
\(m^*\)에 대하여 \(m^*(a-c)>d\)라 하자.
\(n^*\)가 \(n^*d >m^*c\)인 가장 작은 수라고 하자.
\(m^*c>(n^*-1)d\)이고 \(m^*(a-c)>d\)이므로 변변끼리 더하면 \(m^*a>n^*d\)이다. 그러나 \(m^*c< n^*d\)이다.
그러므로 \(d:c>d:a\)이다.
경우 3: \(a-c=c\)인 경우
\(m^*\)에 대하여 \(m^*(a-c)>d\)라 하고, \(n^*\)는 \(n^*d>m^*c\)인 가장 작은 수라고 하자.
\(m^*c>(n^*-1)d\)이고 \(m^*(a-c)>d\)이므로 변변끼리 더하면 \(m^*a>n^*d\)이다. 그러나 \(m^*c< n^*d\)이다.
따라서 \(a:d>c:d\)이다.
따라서 증명이 완성되었다.
여기서의 대수적 기호와 유클리드 증명의 기호의 관계는 다음과 같다.
\(a=\overline{\rm AB}\), \(c=\overline{\rm EB}\), \(d=\rm D\), \(a-c=\overline{\rm AE}\), \(m^*(a-c)=\overline{\rm FG}\), \(m^*c=\overline{\rm GH}=k\), \(n^*d=n\), \((n^*-1)d=m\), \(m^*a=\overline{\rm FH}\)
[V권 명제 8]은 다음 명제에서 처음 사용되고 V권에서 조금의 명제에서 사용된다.